正规化子和中心化子

初学群论的同学刚开始接触正规化子和中心化子这两个概念的时候会很容易弄混,因为他们的定义十分相似。一个群GG的子集SS的中心化子(Centralizer)和正规化子(Normalizer)都是GG的子群,并且符合类似的“局部交换”的限制条件。

有限除环即是域

如果一个含幺环 R 的每一个非零元有乘法逆,则 R 称为除环(division ring),常记为 D。除环和域只相差乘法交换律,所以交换除环就是域。有时我们也称除环为 skew field,skew 正是指(二元乘法的)不对称。最经典的除环要数哈密顿发现的四元数环,有意思的是,这样的非退化的除环并没有有限的形式。也就是说,我们有如下著名的定理:

为什么 e^{x^2} 没有初等原函数

给定一个初等函数,我们很容易可以求得它的导数;而给定一个函数求它的原函数(即不定积分)却不是那么简单的一件事,对于一些常用函数的不定积分,我们有容易记得的几个例子以及并不好记积分表。可是并不是所有的初等函数都存在初等的原函数。例子有很多,比如今天我们要介绍的例子: ex2e^ {x^2} 的原函数不能表示为初等函数。

证明这个结论我们需要积分的刘维尔(Liouville)定理以及微分代数(Differential Algebra)的知识。

斜航线介绍

斜航线(Loxodrome)又叫恒向线,顾名思义,它是基于船舶航行背景的。Loxodrome最初是一个希腊词,loxos的意思是oblique,即是倾斜的,dromos是bearing,方位的意思。后来在17世纪这个词为了解释 Nune 这方面的工作时,被人拉丁化了,成为一个拉丁词语。我们也用Rhumb(或Rhumb Line)这个词代替之。实际上呢,比较抠门的人是有区别这两个名词的,他们的Rhumb是特指恒定的方位,而把loxodrome是指这条运动曲线。

函数域上二次型的 Hasse 原理

经典的 Hasse 原理或者称为全局-局部原理是数论中著名结果。对于一些给定形式的多项式方程,如果我们需要判定或者得到他们的整数解或者有理数解时,运用这一原理,我们只需要研究方程在其所有完备域上的解即可,也就是在实数域和 p-adic 数域上的解。这表面上看起来是把问题复杂化了,但是完备域上的性质比有理数域要好得多,所以在很多情况下,这是一种简化。这一问题在二次型里就有更加有趣的结果。虽然二次型方程是一般多项式方程的简化,但是实际上,对于一些高次方程,现在已经找到不少 Hasse 原理的反例,因此显得不是那么重要。而且,二次型的理论比起高次型要完善的多,所以,研究各种数域上二次型的非奇异零点更有工具上的支持。

整系数的分式线性变换群仅有9个有限子群

分式线性变换(FLT)又称为Mobius变换是指这样形式的函数:m(x)=ax+bcx+dm(x)=\frac{ax+b}{cx+d},其中adbc0ad-bc\neq0。我们将要证明,如果Mobius变换的系数为整数,仅有9个有限子群。对于实系数和复系数的情况我们也将要提到。

首先我们要求我们的整系数的FLT的所有系数互素即gcd(a,b,c,d)=1\gcd(a,b,c,d)=1,然后我们验证所有的整系数的FLT成群:两个FLT的乘积(复合)仍然为FLT。并且e(x)=xe(x)=x为单位变换,每个FLT均有逆变换,为dxbcx+a\frac{dx-b}{-cx+a}