方程的染色问题

本文翻译节选自我的一个笔记,为了偷懒,一些定义和证明就保持原样了。染色问题最著名的理论是拉姆齐理论,它描述的是对有限整数集合或者所有自然数的任意染色下局部拥有的单色性。这一定理可以推广到可数甚至与一些大基数(large cardinals)。关于无限的拉姆齐理论可以参考这个 Notes。至于满足单色性的局部性质,拉姆齐定理并没有给出这些性质的具体形式。然而, Van der Waerden 定理和

- 阅读全文 -

三角恒等式的几何表达

高中数学记忆三角恒等式一直是很多人苦于去做的,虽然有 sinco cosin coco sinsin 之类的记忆“口诀”,但是过了一段时间不复习中间的细节比如两倍、正负号还是容易忘记的。下面我们来梳理一下这些恒等式的几何化表达。

- 阅读全文 -

非交换多项式环和Ore扩张

Ore 扩张是一种定义非交换的多项式环的方法, 最早由 Øystein Ore 提出. 他总结推广了希尔伯特($\delta=0$)和 Schlessinger ($\sigma=1$)的想法. 令 $R$ 是一个含幺环, $\sigma: R\to R$ 是一个环R(作为加法群)的同态, $\delta: R\to R$ 是一个$R$的 $\sigma$ 导子 ($\sigma$-derivat

- 阅读全文 -

完美正方形

完美正方形是把整数边长的正方形分割为若干个==不等整数边长==的小正方形. 我们接下来讨论的所有分割均是边长为整数的分割. 如果不限制边长不等, 我们很容易可以用小正方形分割正方形. 完美正方形如果其中任何一部分小正方形都无法构成一个矩形或正方形, 则称为简单完美正方形(Simple Perfect Squared Square, SPSS), 否则称为复合完美正方形(Compound Perfe

- 阅读全文 -

欧拉是怎么发现平方倒数级数公式的

欧拉是一位多产的数学家,其学术著作约有60-80册,发表论文800多篇,内容极其丰富,对近现代数学产生了极大的影响。之前有一个网站 eulerarchive.org 最近好像挂了,不过我发现 MAA 有更全面的主页: The Euler Archive 。上面有不少欧拉的历史以及原著(包括一些翻译版),有兴趣可以去看看。之前我也花了一些时间去看了一些欧拉微积分和数论方向的文章(比如读读欧拉系列),

- 阅读全文 -

Latex中输入双括号

在LaTeX中如果只是用[[a]]和((a))表示双括号(比如幂级数环)显示会比较难看。尝试使用\left[\left[a\right]\right]等效果也不太好,一个简单的做法是使用[\![a]\!]和(\!(a)\!),可以得到如下效果:$$f[\![a]\!]+(\!(a)\!).$$至于双三角括号的使用,需要引用宏包 mnsymbol 或者使用如下符号自定义:

- 阅读全文 -

KaTeX:博客的数学公式支持

其实早在好几年前 KaTeX 刚出来的时候, 我就有关注这个 MathJax 的代替者. 不过当时好多公式符号都无法加载, 那时甚至矩阵都显示有问题. KaTeX 虽然加载公式速度很快, 但是怕我文章里有公式不能正常显示, 所以还是没有选择使用它. 不过就像很多开源软件一样, 时间能让它们变得越来越好. 诚如前段时间回归 Typecho 重新写博客一样, Markdown 和 MathJax 之间

- 阅读全文 -

鞍点及其判定

昨天一个本科学妹问我一道数学题, 她觉得有些困惑. 题目是道选择题, 具体如下:The function $f(x,y)=3x^2y+y^3-3x^2-3y^2+2$has a saddle point at (-1,1)has a minimum point at (-1,1)has a maximum point at (0,2)has four minimum points

- 阅读全文 -