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楔积

向量的楔积

这个称谓 楔积,或者叫外幂会更加好。

二维的向量楔积的定义就是有向面积(行列式):

$$a\wedge b = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}$$

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欧拉是怎么发现平方倒数级数公式的

欧拉是一位多产的数学家,其学术著作约有60-80册,发表论文800多篇,内容极其丰富,对近现代数学产生了极大的影响。之前有一个网站 eulerarchive.org 最近好像挂了,不过我发现 MAA 有更全面的主页: The Euler Archive 。上面有不少欧拉的历史以及原著(包括一些翻译版),有兴趣可以去看看。之前我也花了一些时间去看了一些欧拉微积分和数论方向的文章(比如读读欧拉系列),发现很适合刚上大学甚至高中生去读。

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[读读欧拉] 一个有理式的对称公式

整式有很多对称的性质, 同样有理式也有. 首先我们从一些简单的例子来感受一下一组有趣的对称:假设 a,b,c 是互不相等的实数,容易知道我们有如下等式

$$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-a}=0\\ \frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0$$

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[读读欧拉] 用二项式公式的连分式推导正切函数的连分式表示

拉普拉斯曾说过一句话, "读读欧拉,他是所有人的老师。" 过去几百年后,我想这句话还是很有力量的。欧拉一生中有占当时数学论文量30%的成果,涉及极广的数学分支。更重要的是,欧拉的著作可读性很高,对于那些看教材不爽的都可以去读一读欧拉, eulerarchive.org总结了欧拉的一些结果, 一些他的论文还可以在 arxiv 找到。

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[读读欧拉] 二项式公式的一个推广

在初等代数中, 二项式定理描述了(线性)二项式的幂的代数展开。根据此定理,可以将 $x+y$ 的任意次幂展开成如下和的形式:

$$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{{n-1}}y^{1}+{n \choose 2}x^{{n-2}}y^{2}+\cdots +{n \choose n}x^{0}y^{n},$$
其中 ${n \choose 2}$ 称为二项式系数, 它等于 $\frac{n!}{k!(n-k)!}$. 二项式定理的一个变形是将 $y$ 替换为 1, 减少为一个变量. 这种形式的二项式公式为

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