射影平面的直观理解

射影虽名为 projective,但并不代表全部意义下的“投影”,而仅仅指的是“点光源的投影”,这也是为什么中文翻译使用“射影”(音同“摄影”)而非“投影”。本文仅从最常见的实射影平面来解释射影平面的几个不太直观或者令人困惑的点。

实射影平面是 R3R^3 中所有过原点的直线构成的空间,记为 RP2\mathbb R P^2 或简记为 P2P^2。这一定义并不会给我们一个足够清晰的图像,作为“平面”,我们自然会考虑如何定义这一“平面”上的点和线等等。因此我们常常可以根据等价类来具体化。

使用 MobaXTerm/VNC 打开图像化的远程服务器

刚来到 BIU 的时候,系里的计算机工程师就跟我讲我有了系里电脑的账号和对应的系里服务器账号。然而我一直只是使用 SSH 或者 SFTP 将自己电脑的文件和学校电脑同步。偶尔的一次机会看到了系里账号的配置网页 BIU-Remote Graphical Applications 中有关于远程图形化应用程序的骚操作。

经过一番研究发现学校远程服务器的Linux系统中装了 VNC server,可以远程调用这台服务器。于是我兴冲冲地按照上述网页的指示进行操作。

方程的染色问题

本文翻译节选自我的一个笔记,为了偷懒,一些定义和证明就保持原样了。

染色问题最著名的理论是拉姆齐理论,它描述的是对有限整数集合或者所有自然数的任意染色下局部拥有的单色性。这一定理可以推广到可数甚至与一些大基数(large cardinals)。关于无限的拉姆齐理论可以参考这个 Notes。至于满足单色性的局部性质,拉姆齐定理并没有给出这些性质的具体形式。然而, Van der Waerden 定理和 Hales–Jewett 定理等结论给出了一些具体的形式,比如前者是等差数列总有单色解,后者更是前者的推广。另一个有意思的局部性质是“单色方程解”,满足这一特性的方程我们称为“分割正规的”(partition regular)。

三角恒等式的几何表达

高中数学记忆三角恒等式一直是很多人苦于去做的,虽然有 sinco cosin coco sinsin 之类的记忆“口诀”,但是过了一段时间不复习中间的细节比如两倍、正负号还是容易忘记的。下面我们来梳理一下这些恒等式的几何化表达。

非交换多项式环和Ore扩张

Ore 扩张是一种定义非交换的多项式环的方法, 最早由 Øystein Ore 提出. 他总结推广了希尔伯特(δ=0\delta=0)和 Schlessinger (σ=1\sigma=1)的想法. 令 RR 是一个含幺环, σ:RR\sigma: R\to R 是一个环R(作为加法群)的同态, δ:RR\delta: R\to R 是一个RRσ\sigma 导子 (σ\sigma-derivation) , 即:

完美正方形

完美正方形是把整数边长的正方形分割为若干个不等整数边长的小正方形. 我们接下来讨论的所有分割均是边长为整数的分割. 如果不限制边长不等, 我们很容易可以用小正方形分割正方形. 完美正方形如果其中任何一部分小正方形都无法构成一个矩形或正方形, 则称为简单完美正方形(Simple Perfect Squared Square, SPSS), 否则称为复合完美正方形(Compound Perfect Squared Square, CPSS). 为了描述简便, 我们用 "方割" 来表示用小正方形分割大的正方形或者长方形.

[读读欧拉] 二项式公式的一个推广

在初等代数中, 二项式定理描述了(线性)二项式的幂的代数展开。根据此定理,可以将 x+yx+y 的任意次幂展开成如下和的形式:

(x+y)n=(n0)xny0+(n1)xn1y1++(nn)x0yn,(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{{n-1}}y^{1}+\cdots +{n \choose n}x^{0}y^{n},

[读读欧拉] 一个有理式的对称公式

整式有很多对称的性质, 同样有理式也有. 首先我们从一些简单的例子来感受一下一组有趣的对称:假设 a,b,c 是互不相等的实数,容易知道我们有如下等式

1ab+1ba=01(ab)(ac)+1(ba)(bc)+1(ca)(cb)=0\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-a}=0\\ \frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0

[读读欧拉] 用二项式公式的连分式推导正切函数的连分式表示

拉普拉斯曾说过一句话, "读读欧拉,他是所有人的老师。" 过去几百年后,我想这句话还是很有力量的。欧拉一生中有占当时数学论文量30%的成果,涉及极广的数学分支。更重要的是,欧拉的著作可读性很高,对于那些看教材不爽的都可以去读一读欧拉, eulerarchive.org总结了欧拉的一些结果, 一些他的论文还可以在 arxiv 找到。

几何平均即是零次幂平均

从小我们就学过算术平均和几何平均,似乎看起来是两种意义的平均,一个是“和”的平均,一个是“积”的平均。但是算数平均推广到幂平均以后,这两者可以统一。实际上,几何平均就是"零次幂平均"(在极限意义下),也就是说,我们有如下等式: