Ore 扩张是一种定义非交换的多项式环的方法, 最早由 Øystein Ore 提出. 他总结推广了希尔伯特($\delta=0$)和 Schlessinger ($\sigma=1$)的想法. 令 $R$ 是一个含幺环, $\sigma: R\to R$ 是一个环R(作为加法群)的同态, $\delta: R\to R$ 是一个$R$的 $\sigma$ 导子 ($\sigma$-derivation) , 即:
$$ \delta(r_1r_2)=\sigma(r_1)\delta(r_2)+\delta(r_1)r_2. $$ 那么 Ore 扩张 $R[x; \sigma,\delta]$, 又被称为一个反称多项式环(the skew polynomial ring). 它是一个非交换环并且给出多项式环$R[x]$ 的一个新的乘法, $$ xr=\sigma(r)x+\delta(r). $$ 也就是说, R 上的单不定元 $x$ 的 Ore 扩张(或者反对称多项式环)是: $$ R[x;\sigma,\delta]={f(x)=a_nx^n+\dots+a_0|a_i\in R}, \\ \text{with } xa=\sigma(a)x+\delta(a) \text{ for all }a\in R. $$ 如果 $\delta = 0$ (zero map), 则 Ore 扩张记为 $R[x;\sigma]$. 如果 $\sigma=1$ 是单位映射, 则 Ore 扩张记为 $R[x,\delta]$, 且被称为一个微分多项式环 (则$\delta$是正常的导子的定义).
Ore 扩张的最典型的例子就是 Weyl 代数. 其中 $R$ 是任意交换代数环, $\sigma$ 是单位环同态, 而 $\delta$ 是多项式导数.
一些简单性质
- 任意一个整环的Ore扩张也是整环.
- 任意一个反称域(除环)的 Ore 扩张都是一个非交换的 PID (主理想整环).
- 如果 $\sigma$ 是一个自同构, $R$ 是左 Noetherian 环, 那么它的Ore 扩张 $R[x;\sigma,\delta]$ 也是左 Noetherian.
除环的 Ore 扩张
如果 $R$ 是一个除环, 则 $R[x;\sigma,\delta]$ 是主理想环, 也是唯一析因整环(UFR), 由此我们可以找到两个反称多项式的最大公因式和最小公倍式. 在 Ore 的基础上, Jacobson 研究了 $R$ 是除环且 $\sigma$ 是自同构的情况. 在此之前, 我们先给出一些必要的定义:
定义 1.1 (General Case). 令 $O=R[x;\sigma,\delta]$ 是 Ore 环. 一个多项式 $p(x)\in O$ 称为半不变量 (semi-invariant), 如果 $Op(x)$ 是一个右 $R$ 模. 等价地, 对任意 $a\in R$, 存在 $b\in R$, 使得 $p(x)a=bp(x)$ 成立. 进一步地, $p(x)$ 称为不变量 (invariant) 当 $Op(x)$ 是一个(双向)理想. 等价地, $p(x)$ 是一个半不变量且存在 $c,d\in R$ 使得 $p(x)x=(cx+d)p(x)$.
如果 $\sigma^n=I_u$ 是由 $R$ 的一个单位 $u$ 导出的内自同构, 我们称内序数 (inner order)为 $n$ 如果 $n$ 是最小的满足这个性质的自然数. 并且我们记为 $o(\sigma)=n$. 如果不存在这样的自然数, 我们称内序数为无穷, 记为 $o(\sigma)=\infty$.
利用这些记号, 我们可以将 Jacobson 给出的结果表述如下:
定理 1.2 (Jacobson). 假设 $R$ 是一个除环且 $\sigma$ 是 $R$ 的一个自同构, $O:=R[x;\sigma,\delta].$ (1) 令 $I(O)$ 是 $O$ 中所有的不变量多项式的集合. 假设 $f(x)\in I(O)$, 则 $$ f(x)=p_1(x)\dots p_m(x), \text{where } p_i(x) \text{ are irreducible elements in }I(O). $$ (2) 假设 $\delta=0$. (a) 如果 $o(\sigma)=\infty$, 那么 $I(O)={x^n|n=1,2,\dots},$ 是所有理想 $x^n O$ 的集合. (b) 如果 $o(\sigma)=n<\infty$, 则任何首一多项式 $f(x)\in I(O)$ 都有如下的形式: $$ f(x)=x^l+a_{l-n}x^{l-n}+a_{l-2n}x^{l-2n}+\dots \\ \text{ with }\sigma(a_{l-jn})=a_{l-kn}\text{ and }a_{l-jn}\sigma^{l-jn}(b)=\sigma^l(b)a_{l-jn}\text{ for all }b\in R. $$
定义 1.3. 如果存在 $b\in R$ 使得对任意 $a\in R$, $\delta(a)=ba-\sigma(a)b$ 都成立, 我们称 $\delta$ 是 $\sigma$ 内 ($\sigma$-inner) 导子. 反之成为 $\sigma$ 外导子.
注记 1.4. 如果 $\delta$ 是 $\sigma$ 内导子, 则我们有 $R[x;\sigma,\delta]=R[y;\sigma,0]$, 其中 $y=x-b$. 这说明如果 $\delta$ 是 $\sigma$ 内导子, 则 Ore 扩张变成自同构(或者自同态)的形式.
如果 $\sigma=1$, 则我们有对任意 $a\in R$, 和任意自然数 $j$. $$ x^ja=ax^j+{j\choose 1}\delta(a)x^{j-1}+\dots+\delta^j(a) $$
由这些性质, Jacobson 得到如下结论:
定理 1.5. 如果 $R$ 是一个除环, $\sigma=1$ 且 $\delta$ 是 1-外导子. 如果 $\mathrm{char} R=0$, 则 $R[x;1,\delta]$ 是一个单环.
Jacobson 没有得到 $\mathrm{char} R=p$ 的结果. 在 1957年 Amitsur 研究了上述条件 (除环情况) 的理想理论, 并得到如下定理:
定理 1.6. 如果 $R$ 是一个除环, 且 $\delta\neq 0$. 则 $R[x;1,\delta]$ 的中心 $Z(R[x;1,\delta])$ 是所有不变量多项式的集合. 进一步地, 如果 $Z(R[x;1,\delta])\subset R$, 则我们有
$$Z(R[x;1,\delta])=R_{1,\delta}={a\in Z(R)|\delta(a)=0};$$
如果 $Z(R[x;1,\delta])\not\subset R$, 则有
$$Z(R[x;1,\delta])=R_{1,\delta}[p(x)],$$
其中 $p(x)$ 是最小非零次数的中心多项式.
在 Jacobson 和 Amitsur 之后, Cauchon, Carcanaque, Lemonnier, Lam, Leroy 和 Matczuk 等人推广了这些结果到一般情况, 更多有关内容参见文献2.
UFR 的 Ore 扩张
如果 $D$ 是交换的PID, 则 $D[x]$ 也不一定就是 PID 而一定是 UFD. 而 $D$ 是 UFD可以导出 $D[x]$ 也是 UFD. 因此很自然的会探讨非交换的 UFR 的 Ore 扩张. 但是事情并没有那么简单, UFR 的所有 Ore 扩张不都是 UFR, 我们需要引入 $(\sigma,\delta)$-稳定 ($(\sigma,\delta)$-stable) 和 $(\sigma,\delta)$-UFR 来进一步研究.
在这一节当中, 我们假设 $R$ 是 Noetherian 素环, 且它的商环 $Q$ 是一个 Artinian 单环. 更进一步地, 我们要求 $\sigma$ 是 $R$ 的一个自同构, $\delta$ 是一个左 $\sigma$-导子.
定义 2.1. $R$ 的理想 $I$ 称为 $(\sigma,\delta)$-stable 的, 如果 $\sigma(I)\subset I$ 且 $\delta(I)\subset I$.
注意到 $I$ 是 $(\sigma,\delta)$-stable 的当且仅当 $I[x;\sigma,\delta]$ 是 $R[x;\sigma,\delta]$ 的理想. Chatters-Jordan 定义 UFR 如下:
定义 2.2. $R$ 被称为是一个 $(\sigma,\delta)$-UFR 如果对任意非零 $(\sigma,\delta)$-稳定的素理想 $P$, 都存在一个非零的 $(\sigma,\delta)$-稳定的素理想 $P_0 \subset P$, 使得 $P_0=pR=Rp$ 对某个 $p\in P_0$ 成立. 特别的, $R$ 是一个 UFR 如果 $R$ 是一个 $(1,0)-$UFR.
我们有如下定理:
定理 2.3. (1) $R$ 是一个 $(\sigma,0)$-UFR 当且仅当 $R[x;\sigma,0]$ 是一个 UFR. (2) 如果 $R$ 是一个 $(1,\delta)$-UFR, 则 $R[x;\sigma,0]$ 是一个 UFR. 并且如果 $R$ 是一个整环, 则反之亦然.
实际上我们存在这样的例子, $R$ 是 UFR 但是 $R[x;\sigma,0]$ 和 $R[x;1,\delta]$ 都可能不是 UFR. 当然这只是一种 UFR 的定义, 随后, Abbasi, Kobayashi 和 Marubayashi 给出了性质更好的 UFR 定义. 这里就不一一赘述了, 有兴趣的读者可以去看看他们的文章(文献3).
参考文献
- 维基百科, Ore extension.
- Hidetoshi MARUBAYASHI, Ideal Theory of Ore Extensions.
- G. Q. Abbasi, S. Kobayashi, H. Marubayashi and A. Ueda, Noncommutative unique factorization rings, Comm. in Algebra 19 (1), (1991), 167-198.