函数域上二次型的 Hasse 原理

经典的 Hasse 原理或者称为全局-局部原理是数论中著名结果。对于一些给定形式的多项式方程,如果我们需要判定或者得到他们的整数解或者有理数解时,运用这一原理,我们只需要研究方程在其所有完备域上的解即可,也就是在实数域和 p-adic 数域上的解。这表面上看起来是把问题复杂化了,但是完备域上的性质比有理数域要好得多,所以在很多情况下,这是一种简化。这一问题在二次型里就有更加有趣的结果。虽然二次型方

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整系数的分式线性变换群仅有9个有限子群

分式线性变换(FLT)又称为Mobius变换是指这样形式的函数:$m(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$,其中$ad-bc\ne 0$。我们将要证明,如果Mobius变换的系数为整数,仅有9个有限子群。对于实系数和复系数的情况我们也将要提到。

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正规化子和中心化子

初学群论的同学刚开始接触正规化子和中心化子这两个概念的时候会很容易弄混,因为他们的定义十分相似。一个群$G$的子集$S$的中心化子(Centralizer)和正规化子(Normalizer)都是$G$的子群,并且符合类似的“局部交换”的限制条件。

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互素理想的推广

昨天在我的论坛上,link 同学问了一个问题: 如果理想 $A,B\lhd R$ 满足 $A+B=R$,证明 $A^2+ B^2=R$。问题等价于问 A,B 两个理想互素,则它们的二次幂也互素。这个结论在主理想环中是显而易见的,因为任何的主理想环的理想都是主理想,理想的互素等价于元素的互素。如果两个数是互素的话,那么显然他们的二次幂,甚至任何正整数次幂都是互素的。实际上,对于任意的环,这个结论也是

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双曲、抛物与椭圆变换

分式线性变换可以分成以上三类:双曲变换,抛物变换以及椭圆变换,定义这些变换首先需要定义FLT的迹,这个迹和方阵的迹的定义稍微有点不同,确切的说是它的平方。考虑 $$A=\left(\begin{array}{ll}a&b\\ c&d\end{array}\right)\in SL(2,\mathbb{R})$$(将一个$GL(2,\mathbb{R})$的变换同时除以$\sqrt{

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