给定一个初等函数，我们很容易可以求得它的导数；而给定一个函数求它的原函数（即不定积分）却不是那么简单的一件事，对于一些常用函数的不定积分，我们有容易记得的几个例子以及并不好记积分表。可是并不是所有的初等函数都存在初等的原函数。
例子有很多，比如今天我们要介绍的例子: $e^ {x^2}$ 的原函数不能表示为初等函数。证明这个结论我们需要积分的刘维尔(Liouville)定理以及微分代数(Differential Algebra)的知识。
微分代数简介
下面简单介绍一下微分环等微分代数的概念。一个微分环是装备一个或多个导子的环。导子(Derivation)是一个满足莱布尼兹乘积法则的一元函数。类似地可以定义微分域和微分代数。两个微分环的同态(Morphism)$\phi:R\to S$是一个满足如下条件的环同态： $$\delta_S\circ\phi=\phi\circ\delta_R,$$ 其中$\delta_S,\delta_R$分别为微分环$R,S$的导子。微分理想是指满足导子运算闭合的微分环的理想。
微分环的一个重要子环$R_C$是$R$上的一个导子的核，当$R$为域时，$R_C$也为域。以下一个关于微分域的核子域的性质很重要。
命题1. 假设$K$是一个有非平凡导子的微分域。
(a) 当$\mathrm{char(K)}=0$时，$K-K_C$里的所有元素均是$K_C$上的超越元。则$K_C\subset K$不是代数扩张。
(b) 当$\mathrm{char(K)}=p>0$时，$K-K_C$里的所有元素均是$K_C$上的代数元。则$K_C\subset K$是代数扩张。
下面的命题是关于微分环扩张的一个定理。设$R\subset S$是一个微分环扩张，于是自然的有$R_C\subset S_C$。接下来的等价性质我们称之为“无新常数扩张”(“no new constans extensions”)。
命题2. 设$R\subset S$为一个微分环扩张，则一下各个命题等价：
(a) $R_C=S_C$；
(b) 如果$R$中元素$r$在$R$中存在“本原元”（primitive，相当于导子的原函数）,则$r$在$S-R$不存在本原元；
(c) 如果$s\in S-R$满足 $s’\in R$，则$s’$在$R$中无本原元。
命题3. 假设$K\subset L$为特征为零的微分域的无新常数扩张，$l\in L-K$ 满足$l’\in K$。则以下结论成立：
(a) $l$是$K$的超越元；
(b) 对于任意一个次数为$n>1$的多项式$p(x)$，$(p(l))’:=q(l)$，其中$q(x)\in K[x]$，则$\deg(q(x))=n$当且仅当$p(x)$最高次项的系数$k_n$不是常数（常数是指导子作用后为0的数）。如若不然，$\deg(q(x))=n-1$。
利用上述命题不难证明如下推论：
推论4. 实（复）自然对数函数是$\mathbb R(x)$（$\mathbb C(x)$）的超越元，实反正切函数是$\mathbb R(x)$的超越元。
命题5. 假设$K\subset L$为特征为零的微分域的无新常数扩张，$l\in L-K$ 满足$\frac{l’}{l}\in K$。则：
(a) $l$是$K$的代数元当且仅当对于某个$n>1$,$l^n\in K$；
(b) 当(a)的条件不满足时，任意$n>0$次多项式$p(l)\in K[l]$的导数$(p(l))’$仍然是一个次数为$n$的多项式。
下面讨论导子的扩张(extending)。有如下定理：
定理6. 当$K\subset L$是特征为0的域扩张时，$\delta$为域$K$的导子。则
(a) $\delta$ 可以扩张到$L$的导子$\delta_L$；
(b) 当$l\in L-K$是$K$上超越元，$m\in L$为任取元素，我们可以选择一个导子扩张，使得$\delta_L(l)=m$；
(c) 当$K\subset L$是代数扩张，则导子扩张$\delta_L$是唯一的；
(d) 当$K\subset L$是代数扩张，扩张导子$\delta_L$与任意自同构$\phi\in \mathrm{Aut}(L/K)$可交换。
刘维尔定理
下面来介绍刘维尔(J. Liouville)的结果。设$K$为特征为零的微分域，我们称元素$l\in K$是元素$k\in K$的对数（或者$k$为$l$的指数）当且仅当 $l’=k’/k$。我们可以简写为 $l=\ln k$ 或者$k=e^l$。于是我们有公式： $$(\ln k)’=k’/k, \qquad (e^l)’ = e^ll’.$$
对任意$k\in K$，元素$k’/k\in K$称为对数导数(logarithmic derivative of k)。根据莱布尼兹公式，我们有对数导数等式(logarithmic derivative identity)：
$$\frac{(\prod_{j=1}^{n} k_j^{m_j})’}{ \prod_{j=1}^{n} k_j^{m_j}} = \sum_{j=1}^m m_j\frac{k_j’}{k_j}.$$
现在令$K\subset K(l)$为一个非平凡的单微分域扩张，我们称$K(l)$是$K$的代数添加、对数添加、指数添加当且仅当$l$为$K$上代数元、$l=\ln k$、$l=e^k$。此时$l$统称为在$K$上基本的(elementary over K)。一个微分域扩张$K\subset L$称为基本的当且仅当存在有限个中间微分域扩张$K=K_0\subset K_1\subset\cdots\subset K_n=L$使得任意$K_j\subset K_{j+1}$是上述三种扩张之一。（这个定义和可解群有点类似）基本函数我们是指一个基本微分域扩张$R(x)\subset L$的一个元素（其中$R=\mathbb R$或者$\mathbb C$）。
定理7. (Liouville) $K$为特征为零的微分域，假设$\alpha\in K$在$K$中没有本原元。则$\alpha$在$K$的“基本无新常数微分域扩张”(elementary no new constant differential field extension )中存在本原元当且仅当存在一个整数$m\geq1$，$c_1,\dots,c_m$，以及$\beta_1,\dots,\beta_m,\gamma\in K$使得下式成立 $$\alpha=\sum_{j=1}^mc_j\frac{\beta’_j}{\beta_j}+\gamma’.$$
证明可以参见文献2。
推论8. (Liouville) 假设 $E\subset K=E(e^g)$ 是给定指数元$e^g, g\in E$的一个无新常数微分域扩张（特征为零）。如果 $e^g$ 是$E$的超越元，$f$为$E$的任意元素，则 $fe^g\in K$ 在$K$的某个基本无新常数微分域扩张中存在一个本原元当且仅当 $\exists a\in E$ ,使得 $f=a’+ag’$ 或者等价的，$f e^g= (a e^g)’$。
推论9. 当$R=\mathbb R(x)$或者$\mathbb C(x)$时，函数$e^{x^2}$没有初等原函数。
证明：根据推论4与推论9，给定函数存在初等原函数（本原元）当且仅当存在$a\in R(x)$，使得$1=a’+2ax$。我们断定不存在这样的函数。如存在，假设$a=p/q\in K(x)$($p/q$即约)满足上式，则有 $$1=\frac{qp’-q’p}{q^2}+2\frac{px}{q},$$ 即$q(q-2px-p’)=-q’p$，则$q|q’p$，于是$q|q’$，所以$q’=0$，$q$为常函数。所以可以假设$a=p$。但是比较等式两边的次数，右边多项式次数大于等于1，左边为零，矛盾！
参考文献
[1]. Churchill, R. C. “Liouville’s Theorem on Integration in Terms of Elementary Functions.” Lecture Notes for the Kolchin Seminar on Differential Algebra. 2002.
[2]. M. Rosenlicht, Liouville’s Theorem on Functions with Elementary Integrals, Pac: J: Math:, 24, (1968), 153-161.
[3]. J: Liouville, Memoire sur l’integration d’une classe de fonctions transcendantes, J: Reine Angew: Math., 13, (1835), 93-118.
[4]. 巴黎高师数学入学试题ENS1995