如果一个含幺环 R 的每一个非零元有乘法逆，则 R 称为除环（division ring），常记为 D。除环和域只相差乘法交换律，所以交换除环就是域。有时我们也称除环为 skew field，skew 正是指（二元乘法的）不对称。最经典的除环要数哈密顿发现的四元数环，有意思的是，这样的非退化的除环并没有有限的形式。也就是说，我们有如下著名的定理：
定理（Wedderburn）: 每个有限除环 D 都是域。
此定理又称为 Wedderburn little theorem，最早由 Joseph Wedderburn 在1905年证明。但是当时他给出了的证明，并不正确，在看了 Dickson 的正确证明以后，他修改了自己的证明。所以此定理的归属当时也有争议，不过现在我们通常还是称为 Wedderburn 定理。之后在1931年，Ernst Witt 给出了一个优美的初等证明。
下面整理一下 Witt 的初等证明：
设 D 为一有限除环，则 D 的中心 Z(D) 是 D 的有限子域，从而有存在素数 $p$，使得 $\operatorname{char}(Z(D))=p$。因为任意一个特征为 p 的域均存在唯一一个素子域(同构于 $\mathbb{Z}/(p)$ 的子域)，所以 $Z(D)$ 的素子域与 $\mathbb{Z}/(p)$ 同构。从而 $Z(D)$ 可看作为 $\mathbb{Z}/(p)$ 的向量空间。另一方面，容易看出 $D$ 也是 $Z(D)$ 的向量空间。注意，这些空间的维度都是有限的（基于有限除环的有限性）。如下图，设 n,m 分别为线性空间的维度。
于是有限线性空间 Z(D) 和 D 的基数 (Cardinality) 分别为 $p^n$ 和 $(p^n) ^m$。因为 $Z(D)$ 是 $D$ 的子域，所以如果能够证明 $m=1$，则就可得到 $D=Z(D)$ 是域。
此时，由于需要计算元素数量，我们需要用到共轭类方程（类数公式）。此处，我们并不能把类数公式直接用在 $D$ 上，因为 $D$ 本身并不是一个乘法群。所以考虑 D 的全体可逆元 (units) 构成的乘法群 $D^*=D\setminus {0}$，得到如下公式
$$(p^n) ^m-1= |D^*| = |Z(D^*)| +\sum_{k=1}^l |C_k| = p^n-1+ \sum_{k=1}^l \frac{ (p^n) ^m-1} {(p^n) ^ {\alpha_k} -1}$$
我们还要需要如下两个结论:
- 如果 $p^k - 1 \mid p^n - 1$ 则 $k \mid n$.
- 如果 $k\mid n$，则 $\Phi_n \mid \frac{x^{n}-1}{x^k-1}$.
接下来我们要用反证法证明 m=1，反设 $m>1$， 则存在 $\zeta$ 为一个 m 阶本原单位根，根据上述结论一，我们有 $\alpha_k \mid m$，再根据结论二，得到分圆多项式
$$\Phi_m \mid \frac{x^m-1} {x^{\alpha_k} - 1}.$$
从类数公式的两边整除性质，可以得到 $\Phi_m(p^n) \mid p^n-1$。
另一方面，显然有
$$|p^n-\zeta| >p^n-1$$
（详见下图），从而有
$$|\Phi_m(p^n)| = \prod_{\zeta} |p^n-\zeta| >p^n-1$$
这意味着 $\Phi_m(p^n)$ 不是 $p^n-1$ 的因子。矛盾！
注：上述证明中我并没有进一步说明“任意一个特征为 p 的域均存在唯一一个素子域”的证明，这是因为，再次证明中，其实并不需要 $Z(D)$ 作为向量空间的条件，实际上上述证明过程中， $p^n$ 均可用一个大于1的正整数 $q$ 替代。之后用到的两个引理可以是在分圆多项式中经常出现的结果，证明不是很难，有兴趣可作为习题做做。
whzecomjm
2015-05-08