此笔记翻译自 Reed 大学的 Jerry Shurman 的一篇 Note：The seventeenth root of unity via quadratic，原文很详细，本文有所删减。这实际上是高斯使用尺规作图做出正十七边形的原理所在，使用了 Galois 理论。

令 $p=17$, 且令 $$ \zeta=\zeta_{17}=e^{2\pi i/17}. $$ 则循环域 $\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}$ 将有一个16阶的乘法循环群

$$ G=(\mathbb{Z}/17\mathbb{Z})^{\times}\ =\langle3\rangle=\small{\{1,\ 3,\ 9,\ 10,\ 13,\ 5,\ 15,\ 11,\ 16,\ 14,\ 8,\ 7,\ 4,\ 12,\ 2,\ 6\}}. $$

于是有如下16阶的自同构： $$ \sigma:\mathbb{Q}(\zeta_{17})\ \rightarrow \mathbb{Q}(\zeta_{17})\ ,\ \zeta\mapsto\zeta^{3} $$ 易得，循环群$\langle \sigma\rangle$ 有如下子群： $$ \begin{aligned} &\langle\sigma : \zeta\mapsto\zeta^{3}\rangle, & \text{ of order 16},\\ &\langle\sigma^2 : \zeta\mapsto\zeta^{9}\rangle, & \text{ of order 8},\\ &\langle\sigma^4 : \zeta\mapsto\zeta^{13}\rangle, & \text{ of order 4},\\ &\langle\sigma^8 : \zeta\mapsto\zeta^{16}\rangle, & \text{ of order 2},\\ &\langle\sigma^{16}=1\rangle, & \text{ of order 1}.\\ \end{aligned} $$ 根据Galois理论，与子群链对应的有如下的域塔：

$$ \begin{aligned} &\mathbb{Q}(\zeta)&& 1\ &k_3 && \langle\sigma^8\rangle\\ &k_2 && \langle\sigma^4\rangle\\ &k_1 && \langle\sigma^2\rangle\\ &\mathbb{Q} && \langle\sigma\rangle\\ \end{aligned} $$

我们只要把每个中间域（均是二次扩张）的生成元找到就可以使用二次根式表达17次单位元。

构建第一扩域

令 $$ r_{1}=\zeta+\zeta^{\sigma^{2}}+\zeta^{\sigma^{4}}+\zeta^{\sigma^{6}}+\zeta^{\sigma^{8}}+\zeta^{\sigma^{10}}+\zeta^{\sigma^{12}}+\zeta^{\sigma^{14}}. $$ 则 $r_1$ 是 $\sigma^2$-不变量，但不是 $\sigma$-不变量，于是如下二次多项式是 $\sigma$-不变量， $$ f_{1}(X)=(X-r_{1})(X-r_{1}^{\sigma})=X^2+b_1X+c_1\in \mathbb Q[X]. $$ 其中 $$ b_{1}\ =-r_{1}-r_{1}^{\sigma}=-\sum_{j=1}^{16}\zeta^{\sigma^{j}}\ =-\sum_{j=1}^{16}\zeta^{j}\ =1,\\ c_{1}\ =r_{1}r_{1}^{\sigma}. $$ $c_1$ 可以直接计算，但也可以通过定义二次特征$\chi$，令 $$ \tau=\sum_{j\in G}\chi(j)\zeta^{j}=\zeta+\zeta^{\sigma^{2}}+\zeta^{\sigma^{4}}+\zeta^{\sigma^{6}}+\zeta^{\sigma^{8}}+\zeta^{\sigma^{10}}+\zeta^{\sigma^{12}}+\zeta^{\sigma^{14}}\\ -\zeta^{\sigma}-\zeta^{\sigma^{3}}-\zeta^{\sigma^{5}}\ -\zeta^{\sigma^{7}}-\zeta^{\sigma^{9}}-\zeta^{\sigma^{11}}\ -\zeta^{\sigma^{13}}-\zeta^{\sigma^{15}} $$ 于是有 $r_1-r_1^{\sigma}=\tau, ; r_1+r_1^{\sigma}=-1$，即 $$ r_{1}r_{1}^{\sigma}=-\frac{\tau^{2}-1}{4}. $$ 利用高斯求和公式可得，

$$ \begin{aligned} \tau^{2}&=\sum_{j\in G}\sum_{k\in G}\chi(jk)\zeta^{j+k} \\ &= \sum_{j\in G}\sum_{k\in G}\chi(j^{2}k)\zeta^{j(1+k)} & \text{replacing $k$ by $jk$}\\ &= \sum_{k\in G}\chi(k)\sum_{j\in G}\zeta^{(1+k)j}\\ & =16 \chi(-1)-\sum_{k\neq-1}\chi(k)\\ & =17 \end{aligned} $$

因此 $r_1r_1^{\sigma}=-4$，即 $$ f_1(X)=X^2+X-4\in \mathbb{Q}[X] $$ 拥有两个实根 $$ r_{1}=\ \frac{-1+\sqrt{17}}{2},\quad r_{1}^{\sigma}= \displaystyle \frac{-1-\sqrt{17}}{2}. $$ 因此我们得到了第一扩域 $k_1=\mathbb Q(r_1)=\mathbb Q(r_1,r_1^{\sigma})$.

构造第二扩域

令 $r_2=\zeta+\zeta^{\sigma^{4}}+\zeta^{\sigma^{8}}+\zeta^{\sigma^{12}}$，则 $r_2$ 是 $\sigma^4$-不变量，但不是 $\sigma^2$-不变量，于是如下二次多项式是 $\sigma^2$-不变量， $$ f_{2}(X)=(X-r_{2})(X-r_{2}^{\sigma^{2}})=X^{2}+b_{2}X+c_{2}\ \in \mathbb{Q}(r_{1})[X] $$ 其中，$b_{2}=-r_{2}-r_{2}^{\sigma^{2}}\ =-r_{1}, ; c_{2}=r_{2}r_{2}^{\sigma^{2}}$.

下面我们计算 $r_2$ 与 $r_2^{\sigma^2}$， $$ r_{2}=\zeta+\zeta^{4}+\zeta^{13}+\zeta^{16}=2(\cos(2\pi/17)+\cos(8\pi/17))\ ,\\ r_{2}^{\sigma^{2}}\ =\zeta^{2}+\zeta^{8}+\zeta^{9}+\zeta^{15}=2(\cos(4\pi/17)+\cos(16\pi/17))\ . $$

于是有， $$ \begin{aligned}\frac{1}{4}r_{2}r_{2}^{\sigma^{2}}\ &=\cos(2\pi/17)\cos(4\pi/17)+\cos(2\pi/17)\cos(16\pi/17)\\ &+\cos(8\pi/17)\cos(4\pi/17)+\cos(8\pi/17)\cos(16\pi/17) , \end{aligned} $$ 根据积化和差公式 $2\cos a\cos b=\cos(a+b)+\cos(a-b)$，可得 $$ \begin{aligned} \frac{1}{2}r_{2}r_{2}^{\sigma^{2}} &=\cos(6\pi/17)+\cos(2\pi/17)+\cos(16\pi/17)+\cos(14\pi/17)\\ &+\cos(12\pi/17)+\cos(4\pi/17)+\cos(10\pi/17)+\cos(8\pi/17)\\ &=-1/2. \end{aligned} $$ 因此，特征多项式为

$$ f_{2}(X)=X^{2}-r_{1}X-1\ \in \mathbb{Q}(r_{1})[X] $$

其拥有两根为

$$ r_{2}=\ \frac{r_{1}+\sqrt{r_{1}^{2}+4}}{2}, r_{2}^{\sigma^{2}} = \displaystyle \frac{r_{1}-\sqrt{r_{1}^{2}+4}}{2}. $$

由此可得，

$$ k_{2}=\mathbb{Q}(r_{1},\ r_{2})=\mathbb{Q}(r_{1},\ r_{1}^{\sigma},\ r_{2},\ r_{2}^{\sigma^{2}})\ . $$ 当然我们还没有验证另外两个 $\sigma^4$-不变量，$r_2^{\sigma}, r_2^{\sigma^3}$。它们显然满足如下多项式：

$$ f_{2}^{\sigma}(X)=X^{2}-r_{1}^{\sigma}X-1. $$

也可以直接使用求根公式得到 $r_2^{\sigma}, r_2^{\sigma^2}$。 当然也可以经过计算得到，

$$ r_{1}r_{2}=2-r_{2}+r_{2}^{\sigma}-r_{2}^{\sigma^{3}}\ =3-r_{2}+2r_{2}^{\sigma}+r_{1}, $$ 现在我们得到了第二扩域，

$$ k_2=\mathbb{Q}(r_{1},\ r_{2})=\mathbb{Q}(r_{1},\ r_{1}^{\sigma},\ r_{2},\ r_{2}^{\sigma},\ r_{2}^{\sigma^{2}},\ r_{2}^{\sigma^{3}}). $$

构造第三扩域

令 $r_3=\zeta+\zeta^{\sigma^8}$. 则 $r_3$ 是 $\sigma^8$-不变量，但不是 $\sigma^4$-不变量，于是如下二次多项式是 $\sigma^4$-不变量， $$ f_{3}(X)=(X-r_{3})(X-r_{3}^{\sigma^{4}})=X^{2}+b_{3}X+c_{3} \in \mathbb{Q}(r_{1},\ r_{2})[X], $$ 其中， $$ b_{3}=-r_{3}-r_{3}^{\sigma^{4}}\ =-r_{2},\\ c_{3}=r_{3}r_{3}^{\sigma^{4}}\ =(\zeta+\zeta^{16})(\zeta^{4}+\zeta^{13})=\zeta^{3}+\zeta^{5}+\zeta^{12}+\zeta^{14}=r_{2}^{\sigma}. $$ 因此， $$ f_3(X)=X^{2}-r_{2}X+r_{2}^{\sigma} \in \mathbb{Q}(r_{1},\ r_{2})[X] $$ 且有如下两根： $$ r_{3}=\ \frac{r_{2}+\sqrt{r_{2}^{2}-4r_{2}^{\sigma}}}{2},\ r_{3}^{\sigma^{4}}\ =\ \frac{r_{2}-\sqrt{r_{2}^{2}-4r_{2}^{\sigma}}}{2}. $$ 所以我们得到了第三扩域 $\mathbb{Q}(r_1,r_2,r_3)$。

最终章

最后，因为 $\zeta$ 与 $\zeta^{\sigma^8}=\zeta^{-1}$ 满足如下多项式， $$ f_{4}(X)=X^{2}-r_{3}X+1. $$ 特别地，

$$ \zeta=\ \frac{r_{3}+\sqrt{r_{3}^{2}-4}}{2},\ \zeta^{-1}\ =\ \frac{r_{3}-\sqrt{r_{3}^{2}-4}}{2}. $$

值得注意的是，我们仅仅在这最后一步做了虚数平方根。综上所述，

$$ r_{1}=\ \frac{-1+\sqrt{17}}{2},\\ r_{2}=\ \frac{r_{1}+\sqrt{r_{1}^{2}+4}}{2},\\ r_{3}=\ \frac{r_{2}+\sqrt{r_{2}^{2}-4r_{2}^{\sigma}}}{2},\\ \zeta_{17}=\ \frac{r_{3}+\sqrt{r_{3}^{2}-4}}{2}. $$

Reference: Jerry Shurman, The Seventeenth Root Of Unity Via Quadratics, url.

whzecomjm

2020-12-28 15:46