拉普拉斯曾说过一句话, “读读欧拉，他是所有人的老师。” 过去几百年后，我想这句话还是很有力量的。欧拉一生中有占当时数学论文量30%的成果，涉及极广的数学分支。更重要的是，欧拉的著作可读性很高，对于那些看教材不爽的都可以去读一读欧拉, eulerarchive.org总结了欧拉的一些结果, 一些他的论文还可以在 arxiv 找到。

“读读欧拉"系列是我对一些欧拉著作或论文的一些总结，这是本系列第一篇文章”A commentary on the continued fraction by which the illustrious La Grange has expressed the binomial powers“的摘要。这篇文章是Euler继续Lagrange的工作（我突然意识到，当时的论文都是没有参考文献的，在文章前面提到之前的研究成果即可，参考文献好像是从Science引入影响因子开始的），Lagrange用取对数微分的方法得到了如下的二项式公式的连分式表示：

$$(1+x)^n =1+\frac{nx}{1+\frac{(1-n)x}{2+\frac{(1+n)x}{3+\frac{(2-n)x}{2+\frac{(2+n)x}{5+\frac{(3-n)x}{2+\frac{(2+n)x}{7+\cdots}}}}}}}$$

显然当n为整数时，这个连分式是有限的，实际上它可以化为二项式定理。首先，欧拉对其做了一些细致的分析和变形，得到了如下形式：（这里不得不说欧拉是一个细致的人，他把每一项的推理都一丝不苟地写得很清楚！）

$$(1+x)^n =1+\frac{nx}{1+\frac{(1-n)x}{2}+\frac{4(n^2 -1)x^2 }{3(1+\frac{1}{2}x)+\frac{4(n^2 -2^2 )x^2 }{5(1+\frac{1}{2}x)+\frac{4(n^2 -3^2 )x^2 }{7(1+\frac{1}{2}x)+\frac{4(n^2 -4^2 )x^2 }{\cdots}}}}}$$

进一步地，令$x=2y$，整理后(分离一次连分式)两边同时加上 $ny$，再同时除以 $(1+y)$ 可以得到：

$$\frac{ny}{1+y}\frac{(1+2y)^n +1}{(1+2y)^n -1}=1+\frac{(n^2 -1)y^2 (1+y)^2 }{3+\frac{(n^2 -2^2 )y^2 (1+y)^2 }{5+\frac{(n^2 -3^2 )y^2 (1+y)^2 }{7+\frac{(n^2 -4^2 )y^2 (1+y)^2 }{9+\cdots}}}}$$

现在我们令$z=\frac{y}{1+y}$，则可以得到：

$$\frac{nz[(1+z)^n +(1-z)^n ]}{(1+z)^n -(1-z)^n }=1+\frac{(n^2 -1)z^2 }{3+\frac{(n^2 -2^2 )z^2 }{5+\frac{(n^2 -3^2 )z^2 }{7+\cdots}}}$$

现在就开始牵扯到复数了，令$z=t\times i$，其中$i=\sqrt{-1}$，再做换元(万能代换)$t=\tan{\varphi}$，就可以得到简单的正切的倍角公式：

$$\tan{n\varphi}=\frac{nt}{1-\frac{(n^2 -1)t^2 }{3-\frac{(n^2 -4)t^2 }{5-\cdots}}}$$

比如，令n=2,我们可以得到$\tan{2\varphi}=\frac{2t}{1-t^2 }$;再比如$n=3$，时，有

$$\tan{3\varphi}=\frac{3t}{1-\frac{8t^2 }{3-t^2 }}=\frac{3t-t^2 }{1-3t^2 }$$ 令$nt=\theta$可以得到正切函数的连分式展开。

文章中还有另外两个结论，不那么有趣，这里就不一一赘述了。