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几何平均即是零次幂平均

从小我们就学过算术平均和几何平均,似乎看起来是两种意义的平均,一个是“和”的平均,一个是“积”的平均。但是算数平均推广到幂平均以后,这两者可以统一。实际上,几何平均就是"零次幂平均"(在极限意义下),也就是说,我们有如下等式:

为什么 e^{x^2} 没有初等原函数

给定一个初等函数,我们很容易可以求得它的导数;而给定一个函数求它的原函数(即不定积分)却不是那么简单的一件事,对于一些常用函数的不定积分,我们有容易记得的几个例子以及并不好记积分表。可是并不是所有的初等函数都存在初等的原函数。例子有很多,比如今天我们要介绍的例子: ex2e^ {x^2} 的原函数不能表示为初等函数。

证明这个结论我们需要积分的刘维尔(Liouville)定理以及微分代数(Differential Algebra)的知识。