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射影平面的直观理解

射影虽名为 projective,但并不代表全部意义下的“投影”,而仅仅指的是“点光源的投影”,这也是为什么中文翻译使用“射影”(音同“摄影”)而非“投影”。本文仅从最常见的实射影平面来解释射影平面的几个不太直观或者令人困惑的点。

实射影平面是 R3R^3 中所有过原点的直线构成的空间,记为 RP2\mathbb R P^2 或简记为 P2P^2。这一定义并不会给我们一个足够清晰的图像,作为“平面”,我们自然会考虑如何定义这一“平面”上的点和线等等。因此我们常常可以根据等价类来具体化。

三角恒等式的几何表达

高中数学记忆三角恒等式一直是很多人苦于去做的,虽然有 sinco cosin coco sinsin 之类的记忆“口诀”,但是过了一段时间不复习中间的细节比如两倍、正负号还是容易忘记的。下面我们来梳理一下这些恒等式的几何化表达。