代数

非交换多项式环和Ore扩张

Ore 扩张是一种定义非交换的多项式环的方法, 最早由 Øystein Ore 提出. 他总结推广了希尔伯特(δ=0\delta=0)和 Schlessinger (σ=1\sigma=1)的想法. 令 RR 是一个含幺环, σ:RR\sigma: R\to R 是一个环R(作为加法群)的同态, δ:RR\delta: R\to R 是一个RRσ\sigma 导子 (σ\sigma-derivation) , 即:

正规化子和中心化子

初学群论的同学刚开始接触正规化子和中心化子这两个概念的时候会很容易弄混,因为他们的定义十分相似。一个群GG的子集SS的中心化子(Centralizer)和正规化子(Normalizer)都是GG的子群,并且符合类似的“局部交换”的限制条件。

有限除环即是域

如果一个含幺环 R 的每一个非零元有乘法逆,则 R 称为除环(division ring),常记为 D。除环和域只相差乘法交换律,所以交换除环就是域。有时我们也称除环为 skew field,skew 正是指(二元乘法的)不对称。最经典的除环要数哈密顿发现的四元数环,有意思的是,这样的非退化的除环并没有有限的形式。也就是说,我们有如下著名的定理:

函数域上二次型的 Hasse 原理

经典的 Hasse 原理或者称为全局-局部原理是数论中著名结果。对于一些给定形式的多项式方程,如果我们需要判定或者得到他们的整数解或者有理数解时,运用这一原理,我们只需要研究方程在其所有完备域上的解即可,也就是在实数域和 p-adic 数域上的解。这表面上看起来是把问题复杂化了,但是完备域上的性质比有理数域要好得多,所以在很多情况下,这是一种简化。这一问题在二次型里就有更加有趣的结果。虽然二次型方程是一般多项式方程的简化,但是实际上,对于一些高次方程,现在已经找到不少 Hasse 原理的反例,因此显得不是那么重要。而且,二次型的理论比起高次型要完善的多,所以,研究各种数域上二次型的非奇异零点更有工具上的支持。

整系数的分式线性变换群仅有9个有限子群

分式线性变换(FLT)又称为Mobius变换是指这样形式的函数:m(x)=ax+bcx+dm(x)=\frac{ax+b}{cx+d},其中adbc0ad-bc\ne 0。我们将要证明,如果Mobius变换的系数为整数,仅有9个有限子群。对于实系数和复系数的情况我们也将要提到。