17次单位根的二次根式表达

此笔记翻译自 Reed 大学的 Jerry Shurman 的一篇 Note:The seventeenth root of unity via quadratic,原文很详细,本文有所删减。这实际上是高斯使用尺规作图做出正十七边形的原理所在,使用了 Galois 理论。令 $p=17$, 且令$$ \zeta=\zeta_{17}=e^{2\pi i/17}. $$则循环域 $\mathbb{Z

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整系数的分式线性变换群仅有9个有限子群

分式线性变换(FLT)又称为Mobius变换是指这样形式的函数:$m(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$,其中$ad-bc\ne 0$。我们将要证明,如果Mobius变换的系数为整数,仅有9个有限子群。对于实系数和复系数的情况我们也将要提到。首先我们要求我们的整系数的FLT的所有系数互素即$\gcd(a,b,c,d)=1$,然后我们验证所有的整系数的FLT成群:两个FLT的乘积(复合)仍然

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正规化子和中心化子

初学群论的同学刚开始接触正规化子和中心化子这两个概念的时候会很容易弄混,因为他们的定义十分相似。一个群$G$的子集$S$的中心化子(Centralizer)和正规化子(Normalizer)都是$G$的子群,并且符合类似的“局部交换”的限制条件。中心化子的一般定义是从一个元素开始,$a\in G$的中心化子$C(a)$是$G$中和$a$交换的元素集合,即 $$C(a):=\{x\in G:xa=a

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