整系数的分式线性变换群仅有9个有限子群

分式线性变换(FLT)又称为Mobius变换是指这样形式的函数:$m(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$,其中$ad-bc\ne 0$。我们将要证明,如果Mobius变换的系数为整数,仅有9个有限子群。对于实系数和复系数的情况我们也将要提到。

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双曲、抛物与椭圆变换

分式线性变换可以分成以上三类:双曲变换,抛物变换以及椭圆变换,定义这些变换首先需要定义FLT的迹,这个迹和方阵的迹的定义稍微有点不同,确切的说是它的平方。考虑 $$A=\left(\begin{array}{ll}a&b\\ c&d\end{array}\right)\in SL(2,\mathbb{R})$$(将一个$GL(2,\mathbb{R})$的变换同时除以$\sqrt{

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