给定一个初等函数,我们很容易可以求得它的导数;而给定一个函数求它的原函数(即不定积分)却不是那么简单的一件事,对于一些常用函数的不定积分,我们有容易记得的几个例子以及并不好记积分表。可是并不是所有的初等函数都存在初等的原函数。例子有很多,比如今天我们要介绍的例子: ex2e^ {x^2} 的原函数不能表示为初等函数。

证明这个结论我们需要积分的刘维尔(Liouville)定理以及微分代数(Differential Algebra)的知识。

微分代数简介

下面简单介绍一下微分环等微分代数的概念。一个微分环是装备一个或多个导子的环。导子(Derivation)是一个满足莱布尼兹乘积法则的一元函数。类似地可以定义微分域和微分代数。两个微分环的同态(Morphism)ϕ:RS\phi:R\to S是一个满足如下条件的环同态:

δSϕ=ϕδR,\delta_S\circ\phi=\phi\circ\delta_R,

其中δS,δR\delta_S,\delta_R分别为微分环R,SR,S的导子。微分理想是指满足导子运算闭合的微分环的理想。

微分环的一个重要子环RCR_CRR上的一个导子的核,当RR为域时,RCR_C也为域。以下一个关于微分域的核子域的性质很重要。

命题1. 假设KK是一个有非平凡导子的微分域。
(a) 当char(K)=0\mathrm{char(K)}=0时,KKCK-K_C里的所有元素均是KCK_C上的超越元。则KCKK_C\subset K不是代数扩张。
(b) 当char(K)=p>0\mathrm{char(K)}=p>0时,KKCK-K_C里的所有元素均是KCK_C上的代数元。则KCKK_C\subset K是代数扩张。

下面的命题是关于微分环扩张的一个定理。设RSR\subset S是一个微分环扩张,于是自然的有RCSCR_C\subset S_C。接下来的等价性质我们称之为“无新常数扩张”("no new constans extensions")。

命题2.RSR\subset S为一个微分环扩张,则一下各个命题等价:
(a) RC=SCR_C=S_C
(b) 如果RR中元素rrRR中存在“本原元”(primitive,相当于导子的原函数),则rrSRS-R不存在本原元;
(c) 如果sSRs\in S-R满足 sRs'\in R,则ss'RR中无本原元。

命题3. 假设KLK\subset L为特征为零的微分域的无新常数扩张,lLKl\in L-K 满足lKl'\in K。则以下结论成立:
(a) llKK的超越元;
(b) 对于任意一个次数为n>1n>1的多项式p(x)p(x)(p(l)):=q(l)(p(l))':=q(l),其中q(x)K[x]q(x)\in K[x],则deg(q(x))=n\deg(q(x))=n当且仅当p(x)p(x)最高次项的系数knk_n不是常数(常数是指导子作用后为0的数)。如若不然,deg(q(x))=n1\deg(q(x))=n-1

利用上述命题不难证明如下推论:

推论4. 实(复)自然对数函数是R(x)\mathbb R(x)C(x)\mathbb C(x))的超越元,实反正切函数是R(x)\mathbb R(x)的超越元。

命题5. 假设KLK\subset L为特征为零的微分域的无新常数扩张,lLKl\in L-K 满足llK\frac{l'}{l}\in K。则:
(a) llKK的代数元当且仅当对于某个n>1n>1,lnKl^n\in K
(b) 当(a)的条件不满足时,任意n>0n>0次多项式p(l)K[l]p(l)\in K[l]的导数(p(l))(p(l))'仍然是一个次数为nn的多项式。

下面讨论导子的扩张(extending)。有如下定理:

定理6.KLK\subset L是特征为0的域扩张时,δ\delta为域KK的导子。则
(a) δ\delta 可以扩张到LL的导子δL\delta_L
(b) 当lLKl\in L-KKK上超越元,mLm\in L为任取元素,我们可以选择一个导子扩张,使得δL(l)=m\delta_L(l)=m
(c) 当KLK\subset L是代数扩张,则导子扩张δL\delta_L是唯一的;
(d) 当KLK\subset L是代数扩张,扩张导子δL\delta_L与任意自同构ϕAut(L/K)\phi\in \mathrm{Aut}(L/K)可交换。

刘维尔定理

下面来介绍刘维尔(J. Liouville)的结果。设KK为特征为零的微分域,我们称元素lKl\in K是元素kKk\in K的对数(或者kkll的指数)当且仅当 l=k/kl'=k'/k。我们可以简写为 l=lnkl=\ln k 或者k=elk=e^l。于是我们有公式:

(lnk)=k/k,(el)=ell.(\ln k)'=k'/k, \qquad (e^l)' = e^ll'.

对任意kKk\in K,元素k/kKk'/k\in K称为对数导数(logarithmic derivative of k)。根据莱布尼兹公式,我们有对数导数等式(logarithmic derivative identity):

(j=1nkjmj)j=1nkjmj=j=1mmjkjkj.\frac{(\prod_{j=1}^{n} k_j^{m_j})'}{ \prod_{j=1}^{n} k_j^{m_j}} = \sum_{j=1}^m m_j\frac{k_j'}{k_j}.

现在令KK(l)K\subset K(l)为一个非平凡的单微分域扩张,我们称K(l)K(l)KK的代数添加、对数添加、指数添加当且仅当llKK上代数元、l=lnkl=\ln kl=ekl=e^k。此时ll统称为在KK上基本的(elementary over K)。一个微分域扩张KLK\subset L称为基本的当且仅当存在有限个中间微分域扩张K=K0K1Kn=LK=K_0\subset K_1\subset\cdots\subset K_n=L使得任意KjKj+1K_j\subset K_{j+1}是上述三种扩张之一。(这个定义和可解群有点类似)基本函数我们是指一个基本微分域扩张R(x)LR(x)\subset L的一个元素(其中R=RR=\mathbb R或者C\mathbb C)。

定理7. (Liouville) KK为特征为零的微分域,假设αK\alpha\in KKK中没有本原元。则α\alphaKK的“基本无新常数微分域扩张”(elementary no new constant differential field extension )中存在本原元当且仅当存在一个整数m1m\geq1c1,,cmc_1,\dots,c_m,以及β1,,βm,γK\beta_1,\dots,\beta_m,\gamma\in K使得下式成立

α=j=1mcjβjβj+γ.\alpha=\sum_{j=1}^mc_j\frac{\beta'_j}{\beta_j}+\gamma'.

证明可以参见文献2。

推论8. (Liouville) 假设 EK=E(eg)E\subset K=E(e^g) 是给定指数元eg,gEe^g, g\in E的一个无新常数微分域扩张(特征为零)。如果 ege^gEE的超越元,ffEE的任意元素,则 fegKfe^g\in KKK的某个基本无新常数微分域扩张中存在一个本原元当且仅当 aE\exists a\in E ,使得 f=a+agf=a'+ag' 或者等价的,feg=(aeg)f e^g= (a e^g)'

推论9.R=R(x)R=\mathbb R(x)或者C(x)\mathbb C(x)时,函数ex2e^{x^2}没有初等原函数。

证明:根据推论4与推论9,给定函数存在初等原函数(本原元)当且仅当存在aR(x)a\in R(x),使得1=a+2ax1=a'+2ax。我们断定不存在这样的函数。如存在,假设a=p/qK(x)a=p/q\in K(x)(p/qp/q即约)满足上式,则有

1=qpqpq2+2pxq,1=\frac{qp'-q'p}{q^2}+2\frac{px}{q},

q(q2pxp)=qpq(q-2px-p')=-q'p,则qqpq|q'p,于是qqq|q',所以q=0q'=0qq为常函数。所以可以假设a=pa=p。但是比较等式两边的次数,右边多项式次数大于等于1,左边为零,矛盾!

参考文献

[1]. Churchill, R. C. "Liouville’s Theorem on Integration in Terms of Elementary Functions." Lecture Notes for the Kolchin Seminar on Differential Algebra. 2002.
[2]. M. Rosenlicht, Liouville’s Theorem on Functions with Elementary Integrals, Pac: J: Math:, 24, (1968), 153-161.
[3]. J: Liouville, Memoire sur l’integration d’une classe de fonctions transcendantes, J: Reine Angew: Math., 13, (1835), 93-118.
[4]. 巴黎高师数学入学试题ENS1995