Ore 扩张是一种定义非交换的多项式环的方法, 最早由 Øystein Ore 提出. 他总结推广了希尔伯特(δ=0\delta=0)和 Schlessinger (σ=1\sigma=1)的想法. 令 RR 是一个含幺环, σ:RR\sigma: R\to R 是一个环R(作为加法群)的同态, δ:RR\delta: R\to R 是一个RRσ\sigma 导子 (σ\sigma-derivation) , 即:

δ(r1r2)=σ(r1)δ(r2)+δ(r1)r2.\delta(r_1r_2)=\sigma(r_1)\delta(r_2)+\delta(r_1)r_2.

那么 Ore 扩张 R[x;σ,δ]R[x; \sigma,\delta], 又被称为一个反称多项式环(the skew polynomial ring). 它是一个非交换环并且给出多项式环R[x]R[x] 的一个新的乘法,

xr=σ(r)x+δ(r).xr=\sigma(r)x+\delta(r).

也就是说, R 上的单不定元 xx 的 Ore 扩张(或者反对称多项式环)是:

R[x;σ,δ]={f(x)=anxn++a0aiR},with xa=σ(a)x+δ(a) for all aR.R[x;\sigma,\delta]=\{f(x)=a_nx^n+\dots+a_0|a_i\in R\}, \\ \text{with } xa=\sigma(a)x+\delta(a) \text{ for all }a\in R.

如果 δ=0\delta = 0 (zero map), 则 Ore 扩张记为 R[x;σ]R[x;\sigma]. 如果 σ=1\sigma=1 是单位映射, 则 Ore 扩张记为 R[x,δ]R[x,\delta], 且被称为一个微分多项式环 (则δ\delta是正常的导子的定义).

Ore 扩张的最典型的例子就是 Weyl 代数. 其中 RR 是任意交换代数环, σ\sigma 是单位环同态, 而 δ\delta 是多项式导数.

一些简单性质

  • 任意一个整环的Ore扩张也是整环.
  • 任意一个反称域(除环)的 Ore 扩张都是一个非交换的 PID (主理想整环).
  • 如果 σ\sigma 是一个自同构, RR 是左 Noetherian 环, 那么它的Ore 扩张 R[x;σ,δ]R[x;\sigma,\delta] 也是左 Noetherian.

除环的 Ore 扩张

如果 RR 是一个除环, 则 R[x;σ,δ]R[x;\sigma,\delta] 是主理想环, 也是唯一析因整环(UFR), 由此我们可以找到两个反称多项式的最大公因式和最小公倍式. 在 Ore 的基础上, Jacobson 研究了 RR 是除环且 σ\sigma 是自同构的情况. 在此之前, 我们先给出一些必要的定义:

定义 1.1 (General Case). 令 O=R[x;σ,δ]O=R[x;\sigma,\delta] 是 Ore 环. 一个多项式 p(x)Op(x)\in O 称为半不变量 (semi-invariant), 如果 Op(x)Op(x) 是一个右 RR 模. 等价地, 对任意 aRa\in R, 存在 bRb\in R, 使得 p(x)a=bp(x)p(x)a=bp(x) 成立. 进一步地, p(x)p(x) 称为不变量 (invariant) 当 Op(x)Op(x) 是一个(双向)理想. 等价地, p(x)p(x) 是一个半不变量且存在 c,dRc,d\in R 使得 p(x)x=(cx+d)p(x)p(x)x=(cx+d)p(x).

如果 σn=Iu\sigma^n=I_u 是由 RR 的一个单位 uu 导出的内自同构, 我们称内序数 (inner order)为 nn 如果 nn 是最小的满足这个性质的自然数. 并且我们记为 o(σ)=no(\sigma)=n. 如果不存在这样的自然数, 我们称内序数为无穷, 记为 o(σ)=o(\sigma)=\infty.

利用这些记号, 我们可以将 Jacobson 给出的结果表述如下:

定理 1.2 (Jacobson). 假设 RR 是一个除环且 σ\sigmaRR 的一个自同构, O:=R[x;σ,δ].O:=R[x;\sigma,\delta].
(1) 令 I(O)I(O)OO 中所有的不变量多项式的集合. 假设 f(x)I(O)f(x)\in I(O), 则

f(x)=p1(x)pm(x),where pi(x) are irreducible elements in I(O).f(x)=p_1(x)\dots p_m(x), \text{where } p_i(x) \text{ are irreducible elements in }I(O).

(2) 假设 δ=0\delta=0.
(a) 如果 o(σ)=o(\sigma)=\infty, 那么 I(O)={xnn=1,2,},I(O)=\{x^n|n=1,2,\dots\}, 是所有理想 xnOx^n O 的集合.
(b) 如果 o(σ)=n<o(\sigma)=n<\infty, 则任何首一多项式 f(x)I(O)f(x)\in I(O) 都有如下的形式:

f(x)=xl+alnxln+al2nxl2n+ with σ(aljn)=alkn and aljnσljn(b)=σl(b)aljn for all bR.f(x)=x^l+a_{l-n}x^{l-n}+a_{l-2n}x^{l-2n}+\dots \\ \text{ with }\sigma(a_{l-jn})=a_{l-kn}\text{ and }a_{l-jn}\sigma^{l-jn}(b)=\sigma^l(b)a_{l-jn}\text{ for all }b\in R.

定义 1.3. 如果存在 bRb\in R 使得对任意 aRa\in R, δ(a)=baσ(a)b\delta(a)=ba-\sigma(a)b 都成立, 我们称 δ\deltaσ\sigma 内 (σ\sigma-inner) 导子. 反之成为 σ\sigma 外导子.

注记 1.4. 如果 δ\deltaσ\sigma 内导子, 则我们有 R[x;σ,δ]=R[y;σ,0]R[x;\sigma,\delta]=R[y;\sigma,0], 其中 y=xby=x-b. 这说明如果 δ\deltaσ\sigma 内导子, 则 Ore 扩张变成自同构(或者自同态)的形式.

如果 σ=1\sigma=1, 则我们有对任意 aRa\in R, 和任意自然数 jj.

xja=axj+(j1)δ(a)xj1++δj(a)x^ja=ax^j+{j\choose 1}\delta(a)x^{j-1}+\dots+\delta^j(a)

由这些性质, Jacobson 得到如下结论:

定理 1.5. 如果 RR 是一个除环, σ=1\sigma=1δ\delta 是 1-外导子. 如果 charR=0\mathrm{char} R=0, 则 R[x;1,δ]R[x;1,\delta] 是一个单环.

Jacobson 没有得到 charR=p\mathrm{char} R=p 的结果. 在 1957年 Amitsur 研究了上述条件 (除环情况) 的理想理论, 并得到如下定理:

定理 1.6. 如果 RR 是一个除环, 且 δ0\delta\neq 0. 则 R[x;1,δ]R[x;1,\delta] 的中心 Z(R[x;1,δ])Z(R[x;1,\delta]) 是所有不变量多项式的集合. 进一步地, 如果 Z(R[x;1,δ])RZ(R[x;1,\delta])\subset R, 则我们有 Z(R[x;1,δ])=R1,δ={aZ(R)δ(a)=0};Z(R[x;1,\delta])=R_{1,\delta}=\{a\in Z(R)|\delta(a)=0\}; 如果 Z(R[x;1,δ])RZ(R[x;1,\delta])\not\subset R, 则有 Z(R[x;1,δ])=R1,δ[p(x)]Z(R[x;1,\delta])=R_{1,\delta}[p(x)], 其中 p(x)p(x) 是最小非零次数的中心多项式.

在 Jacobson 和 Amitsur 之后, Cauchon, Carcanaque, Lemonnier, Lam, Leroy 和 Matczuk 等人推广了这些结果到一般情况, 更多有关内容参见文献2.

UFR 的 Ore 扩张

如果 DD 是交换的PID, 则 D[x]D[x] 也不一定就是 PID 而一定是 UFD. 而 DD 是 UFD可以导出 D[x]D[x] 也是 UFD. 因此很自然的会探讨非交换的 UFR 的 Ore 扩张. 但是事情并没有那么简单, UFR 的所有 Ore 扩张不都是 UFR, 我们需要引入 (σ,δ)(\sigma,\delta)-稳定 ((σ,δ)(\sigma,\delta)-stable) 和 (σ,δ)(\sigma,\delta)-UFR 来进一步研究.

在这一节当中, 我们假设 RR 是 Noetherian 素环, 且它的商环 QQ 是一个 Artinian 单环. 更进一步地, 我们要求 σ\sigmaRR 的一个自同构, δ\delta 是一个左 σ\sigma-导子.

定义 2.1. RR 的理想 II 称为 (σ,δ)(\sigma,\delta)-stable 的, 如果 σ(I)I\sigma(I)\subset Iδ(I)I\delta(I)\subset I.

注意到 II(σ,δ)(\sigma,\delta)-stable 的当且仅当 I[x;σ,δ]I[x;\sigma,\delta]R[x;σ,δ]R[x;\sigma,\delta] 的理想. Chatters-Jordan 定义 UFR 如下:

定义 2.2. RR 被称为是一个 (σ,δ)(\sigma,\delta)-UFR 如果对任意非零 (σ,δ)(\sigma,\delta)-稳定的素理想 PP, 都存在一个非零的 (σ,δ)(\sigma,\delta)-稳定的素理想 P0PP_0 \subset P, 使得 P0=pR=RpP_0=pR=Rp 对某个 pP0p\in P_0 成立. 特别的, RR 是一个 UFR 如果 RR 是一个 (1,0)(1,0)-UFR.

我们有如下定理:

定理 2.3. (1) RR 是一个 (σ,0)(\sigma,0)-UFR 当且仅当 R[x;σ,0]R[x;\sigma,0] 是一个 UFR.
(2) 如果 RR 是一个 (1,δ)(1,\delta)-UFR, 则 R[x;σ,0]R[x;\sigma,0] 是一个 UFR. 并且如果 RR 是一个整环, 则反之亦然.

实际上我们存在这样的例子, RR 是 UFR 但是 R[x;σ,0]R[x;\sigma,0]R[x;1,δ]R[x;1,\delta] 都可能不是 UFR. 当然这只是一种 UFR 的定义, 随后, Abbasi, Kobayashi 和 Marubayashi 给出了性质更好的 UFR 定义. 这里就不一一赘述了, 有兴趣的读者可以去看看他们的文章(文献3).

参考文献

  1. 维基百科, Ore extension.
  2. Hidetoshi MARUBAYASHI, Ideal Theory of Ore Extensions.
  3. G. Q. Abbasi, S. Kobayashi, H. Marubayashi and A. Ueda, Noncommutative unique factorization rings, Comm. in Algebra 19 (1), (1991), 167-198.