在初等代数中, 二项式定理描述了(线性)二项式的幂的代数展开。根据此定理,可以将 x+yx+y 的任意次幂展开成如下和的形式:

(x+y)n=(n0)xny0+(n1)xn1y1++(nn)x0yn,(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{{n-1}}y^{1}+\cdots +{n \choose n}x^{0}y^{n},

其中 (n2){n \choose 2} 称为二项式系数, 它等于 n!k!(nk)!\frac{n!}{k!(n-k)!}. 二项式定理的一个变形是将 yy 替换为 1, 减少为一个变量. 这种形式的二项式公式为

(1+x)n=k=0n(nk)xk.(1+x)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} x^k.

这也正是我们需要讨论的形式. 现在我们考虑 (1+x+x2)n(1+x+x^2)^n, (1+x+x2+x3)n(1+x+x^2+x^3)^n, ... 等"多项式"的展开情况. 欧拉在 On the expansion of the power of any polynomial (1 + x + x^2+ x^3+ etc.)^n 一文中讨论了这些情况, 并给出了 "多项式系数" 的定义以及他们和二项式系数之间的关系.

实际上, 对于任意线性多项式, 我们亦有多项式定理. 它是二项式定理的推广, 使用组合的隔板法即可以证明下列 "多项式公式".

(x1+x2++xt)n=n!n1!n2!nt!x1n1x2n2xtnt(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{t})^{n}=\sum {\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\cdots n_{t}!}}x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\cdots x_{t}^{n_{t}}

其中 i=1tni=n\sum_{i=1}^{t}n_{i}=n, 0nin0\leq n_{i}\leq n. 该公式可以用数学归纳法证明.

现在我们回到欧拉的问题, 看看针对一个变量的情况是否有更有趣的结果.

先考虑 (1+x+x2)2(1+x+x^2)^2, 根据类比, 假设相应有三项式系数 (nk)3{n\choose k}^3 (原文如是写, 虽然比较容易和二项式系数的三次方混淆.) 此时的三项式公式如下

(1+x+x2)n=k=02n(nk)3xk,(1+x+x^2)^n= \sum_{k=0}^{2n} {n\choose k}^3 x^k,

它的最后一项是 (n2n)3x2n{n\choose 2n}^3 x^{2n}, 其中 (n2n)3=1=(n0)3{n\choose 2n}^3=1={n\choose 0}^3. 进一步地, 可以看出三项式系数的对称性, 我们有如下等式:

(nλ)3=(n2nλ)3.{n\choose\lambda}^3={n\choose 2n-\lambda}^3.

为了能得到三项式系数的具体值, 我们将原公式变形为 [1+x(1+x)]n[1+x(1+x)]^n, 再套用二项式公式, 得到

[1+x(1+x)]n=k=0nxk(1+x)k.[1+x(1+x)]^n=\sum_{k=0}^{n}x^k(1+x)^k.

考察系数得到

(nλ)3=k=0λ(λkk)(nλk).{n\choose \lambda}^3=\sum_{k=0}^{\lambda}{\lambda-k\choose k}{n\choose \lambda-k}.

注意二项式系数(ab)a\choose b中, 如果 b>ab>a 或者 b<0b<0, 则系数的值都为零.

紧接着我们考虑 (1+x+x2+x3)n(1+x+x^2+x^3)^n, 将它改写为 [1+x(1+x+x2)]n[1+x(1+x+x^2)]^n 后考察系数得到:

(nλ)4=k=0λ(λkk)3(nλk)2.{n\choose \lambda}^4=\sum_{k=0}^{\lambda}{\lambda-k\choose k}^3 {n\choose \lambda-k}^2.

注意上式中的"平方"是指二项式系数, 和三项式系数类似. 根据进一步地举例考察, 我们得到最终的结论如下:

定理. 多项式 1+x+x2++xθ1+x+x^2+\dots+x^{\theta}nn 次幂展开为

(1+x+x2++xθ)n=k=0nθ(nk)θ+1xk,(1+x+x^2+\dots+x^{\theta})^n=\sum_{k=0}^{n\theta} {n\choose k}^{\theta+1} x^k,

其中 "n+1n+1项式系数" (nk)θ+1{n\choose k}^{\theta+1} 由下列递推公式给出

(nk)θ+1=k=0λ(λkk)θ(nλk)2.{n\choose k}^{\theta+1}=\sum_{k=0}^{\lambda}{\lambda-k\choose k}^{\theta} {n\choose \lambda-k}^2.

欧拉并没有给出该定理的证明, 他只是通过归纳 θ=2,3,4,5\theta=2,3,4,5 的结果推广得到, 但是这个结果用数学归纳法证明不是难事. 关键是结果看起来还是挺美的.