整式有很多对称的性质, 同样有理式也有. 首先我们从一些简单的例子来感受一下一组有趣的对称:假设 a,b,c 是互不相等的实数,容易知道我们有如下等式

1ab+1ba=01(ab)(ac)+1(ba)(bc)+1(ca)(cb)=0\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-a}=0\\ \frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0

上述结果是一种 "轮换对称", 可以很自然地推广到任意有限多个不相等的数,这个结果参见 An arithmetic theorem and its demonstration.

定理. 对于任意有限多m个不相等的实数a,b,c,d,e,f,a,b,c,d,e,f,\dots,令

A=(ab)(ac)(ad)B=(ba)(bc)(bd)C=(ca)(cb)(cd)\begin{aligned} &A=(a-b)(a-c)(a-d)\dots \\ &B=(b-a)(b-c)(b-d)\dots\\ &C=(c-a)(c-b)(c-d)\dots\\ &\cdots\end{aligned}

每个等式右边有m-1个式子相乘。那么,有

1A+1B+1C+=0\frac{1}{A} +\frac{1}{B}+\frac{1}{C}+\cdots=0

更一般地,当nm1n\leq m-1时,我们有

anA+bnB+cnC+=0\frac{a^n}{A} + \frac{b^n}{B} + \frac{c^n}{C}+\cdots=0

第一个结论是很显然地推广就不需要证明了, 或者我们证明更一般的结论二也顺便证明了前一个结论.

证明: 我们需要考察 xn(xa)(xb)(xc)\frac{x^n}{(x-a)(x-b)(x-c)\cdots}, 它可以分解为 mm 个单项有理式, 也就是说,

xn(xa)(xb)(xc)=Axa+Bxb+Cxc+(1)\frac{x^n}{(x-a)(x-b)(x-c) \cdots}= \frac{A'}{x-a}+ \frac{B'}{x-b} +\frac{C'}{x-c} +\cdots \qquad\text{(1)}

上式两边同乘以(xa)(x-a),再令x=ax=a,得到

an(ab)(ac)(ad)=A\frac{a^n}{(a-b)(a-c)(a-d)\cdots}=A'

同理可得:

bn(ba)(bc)(bd)=B,\frac{b^n}{(b-a)(b-c)(b-d)\cdots}=B',

等等. 将 (1) 式右侧移到左方我们有,

xn(xa)(xb)(xc)+Aax+Bbx+Ccx+=0\frac{x^n}{(x-a)(x-b)(x-c)\cdots}+ \frac{A'}{a-x}+ \frac{B'}{b-x}+ \frac{C'}{c-x}+\cdots=0

xx 看作是最后一个(第mm个)实数 (也就是令xx为第mm个实数), 重写 (将上式第一项放在最后) 上式得到

an(ab)(ac)(ad)(ax)++xn(xa)(xb)(xc)=0\frac{a^n}{(a-b)(a-c)(a-d)\dots(a-x)} +\cdots +\frac{x^n}{(x-a)(x-b)(x-c)\dots}=0

证毕!