三角恒等式的几何表达

高中数学记忆三角恒等式一直是很多人苦于去做的,虽然有 sinco cosin coco sinsin 之类的记忆“口诀”,但是过了一段时间不复习中间的细节比如两倍、正负号还是容易忘记的。下面我们来梳理一下这些恒等式的几何化表达。

角和差三角恒等式

角和差三角恒等式是所有公式的基础,容易记忆、也容易得到几何化的表达。

正余弦的角和公式

$$ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta $$

上述几何图示是 $\alpha+\beta<\frac{\pi}{2}$ 的情况, 其余情况也能画出类似的图示, 只不过要注意正负号. 例如对于 $\alpha+\beta>\frac{\pi}{2}$, 且都为锐角情况, 我们有如下图 (图好像画歪了 XD):

正切的角和公式

和差化积恒等式

下面是和差化积的一个几何表达,角BAE为$\alpha$,角$CAE$为$\beta$,$AC=AB=1$,$D$是等腰三角形底边中点。

上图可以很好地表达和差化积公式,比如

$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}.$$

上式左边两个sin是B、C两点到边$l$的距离,乘以 $|l|$ 则是三角形ABC面积的两倍;等式右边等于 $$ 2|CD|\times\frac{|h|}{|l|}, $$ 是三角形ABC面积的两倍除以 $|l|$。故两边相等。

半角公式

此图一目了然。

参考文献

  1. 维基百科 三角恒等式
  2. 半角公式几何化来自微博
  3. 进一步的内容: 数学无字证明——三角函数.
Wenchao Zhang
Wenchao Zhang
PhD Student in Mathematics

My research interests include ring and algebra, algebraic geometry and some combinatorics.