几何平均即是零次幂平均

从小我们就学过算术平均和几何平均,似乎看起来是两种意义的平均,一个是“和”的平均,一个是“积”的平均。但是算数平均推广到幂平均以后,这两者可以统一。实际上,几何平均就是"零次幂平均”(在极限意义下),也就是说,我们有如下等式:

$$\lim_{m\rightarrow 0} M_m(a) = \lim_{m\rightarrow 0} \left(\frac{a_1^m + a_2^m+\dots+ a_n^m}{n} \right)^{1/m}=\sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}=G(a)$$

左边是幂的形式,右边也是幂的形式,但是指数不一样,所以,当时我也是想取对数来做,右边取完对数就会变成

$$ \frac{1}{n}\ln(a_1a_2\dots a_n)=\frac{1}{n}(\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n) $$

接下来就看不到什么迹象了,再看左边的形式,取完对数后变成了

$$ \frac{1}{m} (\ln(a_1^m + \cdots + a_n^m)-\ln n) $$

到这里似乎不能进行下去了。

在课堂上大概就想到这里,后来下课后也没有多想,不过偶然地机会看到一本老书——史济怀的《平均》,里面有详细地证明。大体的想法也是先取对数,不过我们还需要一个关键的替换。下面是书本的证明思路:

令$x=\frac{a_1^m + a_2^m + \dots + a_n^m}{n}-1$,那么很容易知道$\lim_{m\rightarrow 0}x=0$,于是,我们的$\ln M_m(a)$可以写成:

$$ \ln M_m(a)=\frac{1}{m}\ln(1+x) = \frac{x}{r}\frac{\ln(1+x)}{x} $$ 根据洛必达法则,很容易知道$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$,因此我们现在只需要考虑$\lim_{m\rightarrow 0}\frac{x}{m}$即可:

$$ \begin{aligned}\lim_{m \rightarrow 0} \frac{x}{m} &= \lim_{m \rightarrow 0}\frac{\frac{a_1^m + a_2^m + \ldots + a_n^m}{n} - 1}{m} \\ &= \frac{1}{n} \lim_{m \rightarrow 0} \frac{a_1^m + a_2^m + \ldots +a_n^m - n}{m}\\ &= \frac{1}{n} \lim_{m \rightarrow 0} \left(\frac{a^m_1 - 1}{m} +\frac{a^m_2 - 1}{m} + \ldots + \frac{a^m_n - 1}{m}\right)\\ &= \frac{1}{n} \left( \ln a_1 + \ln a_2 + \ldots + \ln a_n \right) \\ &= \ln \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n} \end{aligned} $$

这样接着刚才的分析我们就已经证明完毕了。

Wenchao Zhang
Wenchao Zhang
PhD Student in Mathematics

My research interests include ring and algebra, algebraic geometry and some combinatorics.