有限除环即是域

如果一个含幺环 R 的每一个非零元有乘法逆,则 R 称为除环(division ring),常记为 D。除环和域只相差乘法交换律,所以交换除环就是域。有时我们也称除环为 skew field,skew 正是指(二元乘法的)不对称。最经典的除环要数哈密顿发现的四元数环,有意思的是,这样的非退化的除环并没有有限的形式。也就是说,我们有如下著名的定理:

定理(Wedderburn): 每个有限除环 D 都是域。

此定理又称为 Wedderburn little theorem,最早由 Joseph Wedderburn 在1905年证明。但是当时他给出了的证明,并不正确,在看了 Dickson 的正确证明以后,他修改了自己的证明。所以此定理的归属当时也有争议,不过现在我们通常还是称为 Wedderburn 定理。之后在1931年, Ernst Witt 给出了一个优美的 初等证明

下面整理一下 Witt 的初等证明:

设 D 为一有限除环,则 D 的中心 Z(D) 是 D 的有限子域,从而有存在素数 $p$,使得 $\operatorname{char}(Z(D))=p$。因为 任意一个特征为 p 的域均存在唯一一个素子域(同构于 $\mathbb{Z}/(p)$ 的子域),所以 $Z(D)$ 的素子域与 $\mathbb{Z}/(p)$ 同构。从而 $Z(D)$ 可看作为 $\mathbb{Z}/(p)$ 的向量空间。另一方面,容易看出 $D$ 也是 $Z(D)$ 的向量空间。注意,这些空间的维度都是有限的(基于有限除环的有限性)。如下图,设 n,m 分别为线性空间的维度。

有限除环

于是有限线性空间 Z(D) 和 D 的基数 (Cardinality) 分别为 $p^n$ 和 $(p^n) ^m$。因为 $Z(D)$ 是 $D$ 的子域,所以如果能够证明 $m=1$,则就可得到 $D=Z(D)$ 是域。

此时,由于需要计算元素数量,我们需要用到 共轭类方程(类数公式)。此处,我们并不能把类数公式直接用在 $D$ 上,因为 $D$ 本身并不是一个乘法群。所以考虑 D 的全体可逆元 (units) 构成的乘法群 $D^*=D\setminus {0}$,得到如下公式

$$(p^n) ^m-1= |D^| = |Z(D^)| +\sum_{k=1}^l |C_k| = p^n-1+ \sum_{k=1}^l \frac{ (p^n) ^m-1} {(p^n) ^ {\alpha_k} -1}$$

我们还要需要如下两个结论:

  1. 如果 $p^k - 1 \mid p^n - 1$ 则 $k \mid n$.
  2. 如果 $k\mid n$,则 $\Phi_n \mid \frac{x^{n}-1}{x^k-1}$.

接下来我们要用反证法证明 m=1,反设 $m>1$, 则存在 $\zeta$ 为一个 m 阶本原单位根,根据上述结论一,我们有 $\alpha_k \mid m$,再根据结论二,得到分圆多项式

$$\Phi_m \mid \frac{x^m-1} {x^{\alpha_k} - 1}.$$

从类数公式的两边整除性质,可以得到 $\Phi_m(p^n) \mid p^n-1$。

另一方面,显然有

$$|p^n-\zeta| >p^n-1$$

(详见下图),从而有

$$|\Phi_m(p^n)| = \prod_{\zeta} |p^n-\zeta| >p^n-1$$

这意味着 $\Phi_m(p^n)$ 不是 $p^n-1$ 的因子。矛盾!

几何证明

:上述证明中我并没有进一步说明“任意一个特征为 p 的域均存在唯一一个素子域”的证明,这是因为,再次证明中,其实并不需要 $Z(D)$ 作为向量空间的条件,实际上上述证明过程中, $p^n$ 均可用一个大于1的正整数 $q$ 替代。之后用到的两个引理可以是在分圆多项式中经常出现的结果,证明不是很难,有兴趣可作为习题做做。

whzecomjm
2015-05-08

Wenchao Zhang
Wenchao Zhang
PhD Student in Mathematics

My research interests include ring and algebra, algebraic geometry and some combinatorics.