为什么 e^{x^2} 没有初等原函数

给定一个初等函数,我们很容易可以求得它的导数;而给定一个函数求它的原函数(即不定积分)却不是那么简单的一件事,对于一些常用函数的不定积分,我们有容易记得的几个例子以及并不好记积分表。可是并不是所有的初等函数都存在初等的原函数。

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斜航线介绍

斜航线(Loxodrome)又叫恒向线,顾名思义,它是基于船舶航行背景的。Loxodrome最初是一个希腊词,loxos的意思是oblique,即是倾斜的,dromos是bearing,方位的意思。后来在17世纪这个词为了解释 Nune 这方面的工作时,被人拉丁化了,成为一个拉丁词语。我们也用Rhumb(或Rhumb Line)这个词代替之。实际上呢,比较抠门的人是有区别这两个名词的,他们的Rhu

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函数域上二次型的 Hasse 原理

经典的 Hasse 原理或者称为全局-局部原理是数论中著名结果。对于一些给定形式的多项式方程,如果我们需要判定或者得到他们的整数解或者有理数解时,运用这一原理,我们只需要研究方程在其所有完备域上的解即可,也就是在实数域和 p-adic 数域上的解。这表面上看起来是把问题复杂化了,但是完备域上的性质比有理数域要好得多,所以在很多情况下,这是一种简化。这一问题在二次型里就有更加有趣的结果。虽然二次型方

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整系数的分式线性变换群仅有9个有限子群

分式线性变换(FLT)又称为Mobius变换是指这样形式的函数:$m(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$,其中$ad-bc\ne 0$。我们将要证明,如果Mobius变换的系数为整数,仅有9个有限子群。对于实系数和复系数的情况我们也将要提到。

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正规化子和中心化子

初学群论的同学刚开始接触正规化子和中心化子这两个概念的时候会很容易弄混,因为他们的定义十分相似。一个群$G$的子集$S$的中心化子(Centralizer)和正规化子(Normalizer)都是$G$的子群,并且符合类似的“局部交换”的限制条件。

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互素理想的推广

昨天在我的论坛上,link 同学问了一个问题: 如果理想 $A,B\lhd R$ 满足 $A+B=R$,证明 $A^2+ B^2=R$。问题等价于问 A,B 两个理想互素,则它们的二次幂也互素。这个结论在主理想环中是显而易见的,因为任何的主理想环的理想都是主理想,理想的互素等价于元素的互素。如果两个数是互素的话,那么显然他们的二次幂,甚至任何正整数次幂都是互素的。实际上,对于任意的环,这个结论也是

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双曲、抛物与椭圆变换

分式线性变换可以分成以上三类:双曲变换,抛物变换以及椭圆变换,定义这些变换首先需要定义FLT的迹,这个迹和方阵的迹的定义稍微有点不同,确切的说是它的平方。考虑 $$A=\left(\begin{array}{ll}a&b\\ c&d\end{array}\right)\in SL(2,\mathbb{R})$$(将一个$GL(2,\mathbb{R})$的变换同时除以$\sqrt{

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