完美正方形

完美正方形是把整数边长的正方形分割为若干个==不等整数边长==的小正方形. 我们接下来讨论的所有分割均是边长为整数的分割. 如果不限制边长不等, 我们很容易可以用小正方形分割正方形. 完美正方形如果其中任何一部分小正方形都无法构成一个矩形或正方形, 则称为简单完美正方形(Simple Perfect Squared Square, SPSS), 否则称为复合完美正方形(Compound Perfe

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欧拉是怎么发现平方倒数级数公式的

欧拉是一位多产的数学家,其学术著作约有60-80册,发表论文800多篇,内容极其丰富,对近现代数学产生了极大的影响。之前有一个网站 eulerarchive.org 最近好像挂了,不过我发现 MAA 有更全面的主页: The Euler Archive 。上面有不少欧拉的历史以及原著(包括一些翻译版),有兴趣可以去看看。之前我也花了一些时间去看了一些欧拉微积分和数论方向的文章(比如读读欧拉系列),

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鞍点及其判定

昨天一个本科学妹问我一道数学题, 她觉得有些困惑. 题目是道选择题, 具体如下:The function $f(x,y)=3x^2y+y^3-3x^2-3y^2+2$has a saddle point at (-1,1)has a minimum point at (-1,1)has a maximum point at (0,2)has four minimum points

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[读读欧拉] 一个有理式的对称公式

整式有很多对称的性质, 同样有理式也有. 首先我们从一些简单的例子来感受一下一组有趣的对称:假设 a,b,c 是互不相等的实数,容易知道我们有如下等式$$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-a}=0$$$$\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0$$

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[读读欧拉] 用二项式公式的连分式推导正切函数的连分式表示

拉普拉斯曾说过一句话, "读读欧拉,他是所有人的老师。" 过去几百年后,我想这句话还是很有力量的。欧拉一生中有占当时数学论文量30%的成果,涉及极广的数学分支。更重要的是,欧拉的著作可读性很高,对于那些看教材不爽的都可以去读一读欧拉, eulerarchive.org总结了欧拉的一些结果, 一些他的论文还可以在 arxiv 找到。

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几何平均即是零次幂平均

从小我们就学过算术平均和几何平均,似乎看起来是两种意义的平均,一个是“和”的平均,一个是“积”的平均。但是算数平均推广到幂平均以后,这两者可以统一。实际上,几何平均就是"零次幂平均"(在极限意义下),也就是说,我们有如下等式:$$\lim_{m\rightarrow 0} M_m(a) = \lim_{m\rightarrow 0} \left(\frac{a_1^m + a_2^m+\dots+

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有限除环即是域

如果一个含幺环 R 的每一个非零元有乘法逆,则 R 称为除环(division ring),常记为 D。除环和域只相差乘法交换律,所以交换除环就是域。有时我们也称除环为 skew field,skew 正是指(二元乘法的)不对称。最经典的除环要数哈密顿发现的四元数环,有意思的是,这样的非退化的除环并没有有限的形式。也就是说,我们有如下著名的定理:

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