17次单位根的二次根式表达

此笔记翻译自 Reed 大学的 Jerry Shurman 的一篇 Note:The seventeenth root of unity via quadratic,原文很详细,本文有所删减。这实际上是高斯使用尺规作图做出正十七边形的原理所在,使用了 Galois 理论。令 $p=17$, 且令$$ \zeta=\zeta_{17}=e^{2\pi i/17}. $$则循环域 $\mathbb{Z

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向量法求根式函数值域

对于含有根式的函数的值域求解,我们常常会先观察函数构型,或换元、或使用平方差和完全平方公式等拼凑,并没有统一的方法。事实上,这类函数的值域或者最值问题可以看成向量的模的最值问题。这一方法看似不容易掌握,也有不少坑,但是依然是一个很好的入手点和思考函数值域的方式。首先我们给出最常用的两个向量不等式,用以求解函数值域。它们分别是向量的三角不等式和数量积(柯西)不等式。向量的三角不等式指的是,对于任意两

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幂平均不等式和对称法

高中数学中的不等式板块一直是一个学生比较头疼的内容。因为不等式的题目往往很考察学生的观察能力和举一反三能力。在学习基本不等式这一内容中,我们常常通过引入“重要不等式”或者从几何图形中证明基本不等式。事实上,基本不等式即是“几何平均小于等于算术平均”。事实上,这一结果可以推广到任意幂平均。通常我们有如下的结果(对任意$a,b>0$):$$ \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{

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拉姆齐数一个下界的概率证明

拉姆齐定理表明在二染色中对任意整数 $r$ 一定存在 $n$,使得完全图 $K_n$ 必然包含的同色子完全图$K_s$。$R(s):=R(s,s)$. 我们已经知道 $R(1)=1$, $R(2)=2$, $R(3)=6$, 以及 $R(4)=18$. 然后寻找确切的拉姆齐数十分困难, 事实上, $R(5)$ 及其以上的确切值仍然没有确定. 因此, 自然的想法就是不断缩小上下界. P. Erdös

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射影平面的直观理解

射影虽名为 projective,但并不代表全部意义下的“投影”,而仅仅指的是“点光源的投影”,这也是为什么中文翻译使用“射影”(音同“摄影”)而非“投影”。本文仅从最常见的实射影平面来解释射影平面的几个不太直观或者令人困惑的点。

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方程的染色问题

本文翻译节选自我的一个笔记,为了偷懒,一些定义和证明就保持原样了。染色问题最著名的理论是拉姆齐理论,它描述的是对有限整数集合或者所有自然数的任意染色下局部拥有的单色性。这一定理可以推广到可数甚至与一些大基数(large cardinals)。关于无限的拉姆齐理论可以参考这个 Notes。至于满足单色性的局部性质,拉姆齐定理并没有给出这些性质的具体形式。然而, Van der Waerden 定理和

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三角恒等式的几何表达

高中数学记忆三角恒等式一直是很多人苦于去做的,虽然有 sinco cosin coco sinsin 之类的记忆“口诀”,但是过了一段时间不复习中间的细节比如两倍、正负号还是容易忘记的。下面我们来梳理一下这些恒等式的几何化表达。

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非交换多项式环和Ore扩张

Ore 扩张是一种定义非交换的多项式环的方法, 最早由 Øystein Ore 提出. 他总结推广了希尔伯特($\delta=0$)和 Schlessinger ($\sigma=1$)的想法. 令 $R$ 是一个含幺环, $\sigma: R\to R$ 是一个环R(作为加法群)的同态, $\delta: R\to R$ 是一个$R$的 $\sigma$ 导子 ($\sigma$-derivat

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