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高中数学记忆三角恒等式一直是很多人苦于去做的,虽然有 sinco cosin coco sinsin 之类的记忆“口诀”,但是过了一段时间不复习中间的细节比如两倍、正负号还是容易忘记的。下面我们来梳理一下这些恒等式的几何化表达。

角和差三角恒等式

角和差三角恒等式是所有公式的基础,容易记忆、也容易得到几何化的表达。

  1. 正余弦的角和公式:
    $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

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下列两个数列非常有意思,它们一直到第777451915729368项才不一样。

他们分别是:$\lfloor\frac{2n}{\log 2}\rfloor$ 和 $\lceil\frac{2}{2^{1/n}-1}\rceil$。注意,这里的 $\log$ 是自然对数 $\ln$。

来源微博,更多内容参见:http://neilsloane.com/doc/PRECALC2015.compressed.pdf 或者 OEIS/A129935

给定一个初等函数,我们很容易可以求得它的导数;而给定一个函数求它的原函数(即不定积分)却不是那么简单的一件事,对于一些常用函数的不定积分,我们有容易记得的几个例子以及并不好记积分表。可是并不是所有的初等函数都存在初等的原函数。例子有很多,比如今天我们要介绍的例子: $e^ {x^2}$ 的原函数不能表示为初等函数。

证明这个结论我们需要积分的刘维尔(Liouville)定理以及微分代数(Differential Algebra)的知识。

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