17次单位根的二次根式表达

此笔记翻译自 Reed 大学的 Jerry Shurman 的一篇 Note:The seventeenth root of unity via quadratic,原文很详细,本文有所删减。这实际上是高斯使用尺规作图做出正十七边形的原理所在,使用了 Galois 理论。令 $p=17$, 且令$$ \zeta=\zeta_{17}=e^{2\pi i/17}. $$则循环域 $\mathbb{Z

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非交换多项式环和Ore扩张

Ore 扩张是一种定义非交换的多项式环的方法, 最早由 Øystein Ore 提出. 他总结推广了希尔伯特($\delta=0$)和 Schlessinger ($\sigma=1$)的想法. 令 $R$ 是一个含幺环, $\sigma: R\to R$ 是一个环R(作为加法群)的同态, $\delta: R\to R$ 是一个$R$的 $\sigma$ 导子 ($\sigma$-derivat

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有限除环即是域

如果一个含幺环 R 的每一个非零元有乘法逆,则 R 称为除环(division ring),常记为 D。除环和域只相差乘法交换律,所以交换除环就是域。有时我们也称除环为 skew field,skew 正是指(二元乘法的)不对称。最经典的除环要数哈密顿发现的四元数环,有意思的是,这样的非退化的除环并没有有限的形式。也就是说,我们有如下著名的定理:

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为什么 e^{x^2} 没有初等原函数

给定一个初等函数,我们很容易可以求得它的导数;而给定一个函数求它的原函数(即不定积分)却不是那么简单的一件事,对于一些常用函数的不定积分,我们有容易记得的几个例子以及并不好记积分表。可是并不是所有的初等函数都存在初等的原函数。

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函数域上二次型的 Hasse 原理

经典的 Hasse 原理或者称为全局-局部原理是数论中著名结果。对于一些给定形式的多项式方程,如果我们需要判定或者得到他们的整数解或者有理数解时,运用这一原理,我们只需要研究方程在其所有完备域上的解即可,也就是在实数域和 p-adic 数域上的解。这表面上看起来是把问题复杂化了,但是完备域上的性质比有理数域要好得多,所以在很多情况下,这是一种简化。这一问题在二次型里就有更加有趣的结果。虽然二次型方

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整系数的分式线性变换群仅有9个有限子群

分式线性变换(FLT)又称为Mobius变换是指这样形式的函数:$m(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$,其中$ad-bc\ne 0$。我们将要证明,如果Mobius变换的系数为整数,仅有9个有限子群。对于实系数和复系数的情况我们也将要提到。

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正规化子和中心化子

初学群论的同学刚开始接触正规化子和中心化子这两个概念的时候会很容易弄混,因为他们的定义十分相似。一个群$G$的子集$S$的中心化子(Centralizer)和正规化子(Normalizer)都是$G$的子群,并且符合类似的“局部交换”的限制条件。

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互素理想的推广

昨天在我的论坛上,link 同学问了一个问题: 如果理想 $A,B\lhd R$ 满足 $A+B=R$,证明 $A^2+ B^2=R$。问题等价于问 A,B 两个理想互素,则它们的二次幂也互素。这个结论在主理想环中是显而易见的,因为任何的主理想环的理想都是主理想,理想的互素等价于元素的互素。如果两个数是互素的话,那么显然他们的二次幂,甚至任何正整数次幂都是互素的。实际上,对于任意的环,这个结论也是

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