对于含有根式的函数的值域求解,我们常常会先观察函数构型,或换元、或使用平方差和完全平方公式等拼凑,并没有统一的方法。事实上,这类函数的值域或者最值问题可以看成向量的模的最值问题。这一方法看似不容易掌握,也有不少坑,但是依然是一个很好的入手点和思考函数值域的方式。

首先我们给出最常用的两个向量不等式,用以求解函数值域。它们分别是向量的三角不等式和数量积(柯西)不等式。向量的三角不等式指的是,对于任意两个向量 $\vec{a}, \vec{b}$,下列不等式恒成立:

$$ ||\vec{a}|-|\vec{b}||\leq |\vec{a}+\vec{b}|\leq |\vec{a}|+|\vec{b}| \qquad\qquad(1) $$

左边不等式取得等号当且仅当 $\vec{a},\vec{b}$ 反向,右边不等式取得等号当且仅当 $\vec{a},\vec{b}$ 同向。当然,一个直接的推论是 $|\vec{a}-\vec{b}|$ 也满足上述不等式,不过等号取得条件恰好和$|\vec{a}+\vec{b}|$相反。

另一个数量积不等式也与两个向量的夹角有关。事实上,因为 $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}| |\vec{b}|\cos\theta$,因此

$$ |\vec{a}\cdot\vec{b}|\leq|\vec{a}| |\vec{b}|, \qquad\qquad(2)\\ (\vec{a}\cdot\vec{b})^2\leq |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 \qquad\quad(3) $$

上述不等式的等号取得条件均是$\vec{a},\vec{b}$平行,其中不等式(3)称为柯西 (Cauchy-Schwarz) 不等式。

接下来我们看几类简单的根式函数的值域问题。

例1. 若 $f(x)=\sqrt{2x^2-12x+36}+\sqrt{2x^2-22x+73}$,求 $f(x)$ 的最小值。

事实上,这道题目是将军饮马问题的函数形式。原题讲的是在平面直角坐标系中,点 $P(3,-2)$ 经过 $x+y=6$ 直线上一点,到原点的折线段的最小值。也就是有,

$$ f(x)=\sqrt{(x-3)^2+(6-x+2)^2}+\sqrt{x^2+(6-x)^2} $$

因此,此函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$. 我们回到原题,如果需要计算这类函数的值域或者极值问题,我们可以观察两个根式内的函数之间的关系,并试图作化简。可以发现这并不容易。那又如何使用向量法呢?我们可以首先给两个根式内的二次函数配方(这样做的想法在于看看是否刚好是完全平方,则可以去掉根式),得到如下结果:

$$ f(x)=\sqrt2 \left[\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2}+\sqrt{(x-3)^2+3^2}\right] \qquad\qquad(4) $$

我们可以发现,两个根式都可以化为平方和,且一个有变量,另一个是常数。平方和的根号在向量的坐标表示中正是向量的模。因此,令 $\vec{a}=(x-\frac{11}{2}, \frac{5}{2}), \vec{b}=(3-x,3)$,则可以看出 $\vec{a}+\vec{b}=(-\frac{5}{2},\frac{11}{2})$ 是一个常数向量,因此模必然也是定值。利用向量的三角不等式(1)可以得到,

$$ f(x)=\sqrt{2}(|\vec{a}|+|\vec{b}|)\geq \sqrt{2} |\vec{a}+\vec{b}| =\sqrt{73}, $$

等号当且仅当 $x=\frac{48}{11}$时, 即$\vec{a},\vec{b}$ 同向时成立。

需要注意的是,(4)式中,我们似乎也可以令 $\vec{a}=(x-\frac{11}{2}, \frac{5}{2}), \vec{b}=(x-3,3)$,则 $\vec{a}-\vec{b}=(-\frac{5}{2},-\frac{1}{2})$也是常数向量。利用向量的三角不等式,可得

$$ f(x)=\sqrt{2}(|\vec{a}|+|\vec{b}|)\geq \sqrt{2} |\vec{a}-\vec{b}| =\sqrt{13}. $$

这得到一个更小的值!然而 $\sqrt{13}$ 并不是所求的最值。事实上此时,要求 $\vec{a},\vec{b}$ 反向,但平行条件解得 $x=18$,但此时 $\vec{a},\vec{b}$ 却是同向。事实上,在将军饮马背景中,这一不合理的结果是没有经过河边的直线距离。

下面我们再看另一类根式函数的值域问题:

例2. 求函数 $y=\sqrt{1+x}+\sqrt{3-x}$ 的值域。

首先容易得到函数 $y$ 的定义域为 $[-1,3]$。因为根式内的一次函数的和为常数,即平方和为常数,因此我们可以找寻平方和的不等式,得到一个最值。但是要完整的求此类函数的值域问题,我们需要对函数 $y$ 做变形。

$$ y=\sqrt{(\sqrt{1+x}+\sqrt{3-x})^2}=\sqrt{4+2\sqrt{(1+x)(3-x)}} $$

由此根据二次函数的单调性以及$y$定义域可求得 $y$ 的值域。下面我们来思考向量的类比。因为根式满足平方和为常数,因此若令 $\vec{m}=(\sqrt{1+x},\sqrt{3-x})$,则 $|\vec{m}|=2$。那如何理解 $\sqrt{1+x}+\sqrt{3-x}$ 呢?根据向量的坐标表示,它是横坐标和纵坐标的和。但是在此我们可以看成 $\vec{m}$ 与向量 $\vec{n}=(1,1)$ 的数量积!

令 $u=\sqrt{1+x}, v=\sqrt{3-x}$, 则 $u,v\geq 0$ 且 $u^2+v^2=4$. 则 $\vec{m}=(u,v), \vec{n}=(1,1)$,$y=\vec{m}\cdot \vec{n}$。

下图中的坐标系是 $uOv$,很好地表示了 $y$ 的取值范围(即蓝色阴影矩形的面积)的变化。

在上述图示中,$\vec{n}=(1,1)=\overrightarrow{OA}$, $\vec{m}=(u,v)=\overrightarrow{OB}$, 所以

$$ y=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OA'}||\overrightarrow{OC}|=S_{Blue} $$

因此可得到 $y\in[2,2\sqrt{2}]$。

如下两道题目也可以利用向量法求值域或最值,留作习题:

习题11. 求函数 $f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{2+3x-x^2}$ 的最小值。

习题2. 求函数 $f(x)=3x+2+4\sqrt{4-x^2}$ 的值域。

whzecomjm

2020-12-8


  1. 此题可以用上述两种不等式求解。