昨天在我的论坛上,link 同学问了一个问题: 如果理想 $A,B\lhd R$ 满足 $A+B=R$,证明 $A^2+ B^2=R$。

问题等价于问 A,B 两个理想互素,则它们的二次幂也互素。这个结论在主理想环中是显而易见的,因为任何的主理想环的理想都是主理想,理想的互素等价于元素的互素。如果两个数是互素的话,那么显然他们的二次幂,甚至任何正整数次幂都是互素的。实际上,对于任意的环,这个结论也是成立的。

命题 1:如果 $A,B$ 为环 $R$ 中两互素理想,等价于 $A^n, B^m$ 也互素,其中 $m,n\in \mathbb{Z}^+$。

证明如下:$A^n, B^m$ 互素容易推出 $A,B$ 互素。另一方面,如果 $A^n, B^m$ 不互素,也就是说 $C:=A^n + B^m\neq R$,则必有包含理想 $C$ 的素理想(任何非单位理想均含于某个极大理想中),不妨设为 $P$。 我们有 $A^n + B^m\subset P$。 根据理想和的定义易知, $A^n\subset P, B^m\subset P$。 因为 $P$ 是素理想,所以有 $A\subset P, B\subset P$,于是 $A+B\subset P$。这与 $A,B$ 互素矛盾!$\square$

之后看到了 link 的解答,他的方法是考察单位元。实际上 $A,B$ 两理想互素的等价条件就是 $1\in A+B$。 则存在 $a\in A,b\in B$,使得 $1^3 = (a+b)^3$, 展开可以得到 $A^2 + B^2=R$: 这是因为 $$1^3 = a^3+ 3ba^3 +b^3 +3ab^2,$$ 其中 $a^3 + 3ba^3\in a^2R\subset A^2$, $b^3+ 3ab^2 \in b^2R\subset B^2$。不过需要注意的是,这个证明依赖于 $R$ 是交换环。

实际上上述方法也可推广证明命题 1,这是因为对任意正整数$s$,我们有 $$1 = 1^{2s} = (a+b)^{2s} = \sum_{i=0}^{2s} {2s \choose i} a^i b^{2s-i} \in B^{2s} +\dots + B^{2s} \subset A^s + B^s$$ 我们只需要取 $s=\max(m,n)$ 即可。

注记:开始我猜想如果有三个以上的理想之和为 $R$,则存在其中至少两个理想互素。这个结论是错误的,反例如下:$R=\mathbb{Z}$, $A=(6),B=(10),C=(15)$, 因为 $6+10-15=1$, $A+B+C=\mathbb{Z}$, 但没有两个理想互素。