分式线性变换可以分成以上三类:双曲变换,抛物变换以及椭圆变换,定义这些变换首先需要定义FLT的迹,这个迹和方阵的迹的定义稍微有点不同,确切的说是它的平方。考虑

$$A=\left(\begin{array}{ll}a&b\\ c&d\end{array}\right)\in SL(2,\mathbb{R})$$

(将一个$GL(2,\mathbb{R})$的变换同时除以$\sqrt{ad-bc}$,再变成特殊线性群。)于是我们定义$\tau{(\gamma)}=\mathrm{Tr}(A)^2=(a+d)^2$,其中$\gamma(\zeta)=(az+b)/(cz+d)$,$ad-bc=1$。我们可以证明:共轭FLT拥有一样的迹

因为我们已经有 $ad-bc=1,(a+d)^2=\tau{(\gamma)}$。于是显然有:

$$(a-d)^2+4bc=\tau{(\gamma)}-4$$

当c=0时,之前我们已经提到$\infty$是一个固定点,并且另一个固定点为$b/(d-a)$,于是如果$a-d=0$,则有$a=d=1$或者$a=d=-1$,$ad-bc-ad=1$,于是迹为$(1+1)^2=4$。如果$a-d\neq0$,则有两个不动点,并且迹大于4。当$c\neq0$,则可以找到两个不动点

$$z_0=\frac{a-d\pm\sqrt{(a-d)^2+4bc}}{2c}$$

于是我们可以根据上述的定义可以将$\gamma$分成三类(如果不是恒等变换):

  1. $\gamma$是抛物型的当且仅当$\tau{(\gamma)}=4$;
  2. $\gamma$是椭圆型的当且仅当$\tau{(\gamma)}\in[0,4)$;
  3. $\gamma$是双曲型的当且仅当$\tau{(\gamma)}\in(4,+\infty)$

进一步的我们有如下结论

  1. 抛物型的FLT共轭于平移变换;并且共轭于$z\mapsto z+1$或者$z\mapsto z-1$;
  2. 双曲型的FLT共轭于一个放缩变换,$z\mapsto kx$,其中$k>0$;
  3. 椭圆型的FLT共轭于一个旋转变换,$z\mapsto e^{i\theta}z$。

参考文献

[1] Lyndon and Ullman, Groups of Elliptic Linear Fractional Transformations
[2] Classifying Mobius transformations: conjugacy, trace, and applications to parabolic transformations
[3] Classifying Mobius transformations: hyperbolic and elliptic transformation