二次域和分圆域

在一定程度上讲, 分圆域是二次域的推广. 所以弄清楚二次域和分圆域的关系尤其重要. 注意到二次域是有理数域的阿贝尔扩张. 在代数数论中, 可以证明任何分圆域都是有理数域$\mathbb{Q}$ 的阿贝尔扩张. 相反地, 因为 $\phi(p)=p-1$ ($\phi$ 是欧拉函数) 是偶数, 所以 $p$ 阶分圆域包含某些二次域. 更一般地, Kronecker–Weber 定理指出所有有理数域的阿贝尔扩张都包含在某些分圆域中. 因而所有的二次域都包含在某些分圆域中.

Kronecker-Weber 定理还有另一种表述, 即任意拥有交换 Galois 群的代数整数可以表示为单位根的有理数线性和. 比如:
$$\sqrt{5}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}.$$
更精确的 Kronecker-Weber 定理表述如下1:

Every finite abelian extension of the rational numbers is a subfield of a cyclotomic field. That is, whenever an algebraic number field has a Galois group over the rational numbers that is an abelian group, the field is a subfield of a field obtained by adjoining a root of unity to the rational numbers.

这个定理的证码需要用到类域论, 具体可以参见 Ghate, Eknath 的证明. 下面我们回到我们原始的较为简单的问题: 任何二次域都是某些分圆域的子域. 我们需要如下两个步骤就能证明这一结论, 这一方法可以参见 Marcus 的 Number Fields 书中第二章的习题8.

  1. 证明 $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ 包含 $\sqrt{p}$ 如果 $p\equiv 1\bmod 4$ 或者包含 $\sqrt{-p}$ 如果 $p\equiv 3\bmod 4$. (注: 证明这个结果需要用到关于分圆域 $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ 判别式的结论 $$\prod_{1\leq r<s\leq p-1}(\zeta_p^r-\zeta_p^s)^2=\left(\prod_{1\leq r<s\leq p-1}(\zeta_p^r-\zeta_p^s)\right)^2=\pm p^{p-2}.$$ $p\equiv 1\bmod 4$ 时为正, $p\equiv 3\bmod 4$ 时为负. 考虑二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ 或 $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ 的判别式.)
  2. 证明 $\mathbb{Q}(\zeta_8)$ 包含 $\sqrt{2}$. (注: $e^\frac{2\pi i}{8}+e^\frac{14\pi i}{8}=\sqrt{2}.$)

完成上面两个部分以后, 结论是显然的. 因为$\mathbb{Q}(i)$包含$\sqrt{-1}$, 所以对于任意二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$, 我们只需要做$m$的素分解, 即可得到所需分圆域的子素分圆域. 合成这些所有的子素分圆域即可得到所需分圆域. 实际上, $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ 包含在 $d$ 阶分圆域, 其中 $d=\mathrm{disc}(\mathbb{Q}(\sqrt{m}))$.

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