整式有很多对称的性质, 同样有理式也有. 首先我们从一些简单的例子来感受一下一组有趣的对称:假设 a,b,c 是互不相等的实数,容易知道我们有如下等式

$$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-a}=0\\ \frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0$$

上述结果是一种 "轮换对称", 可以很自然地推广到任意有限多个不相等的数,这个结果参见 An arithmetic theorem and its demonstration.

定理. 对于任意有限多m个不相等的实数$a,b,c,d,e,f,\dots$,令
$$\begin{aligned} &A=(a-b)(a-c)(a-d)\dots \\ &B=(b-a)(b-c)(b-d)\dots\\ &C=(c-a)(c-b)(c-d)\dots\\ &\cdots\end{aligned}$$
每个等式右边有m-1个式子相乘。那么,有
$$\frac{1}{A} +\frac{1}{B}+\frac{1}{C}+\cdots=0$$
更一般地,当$n\leq m-1$时,我们有
$$\frac{a^n}{A} + \frac{b^n}{B} + \frac{c^n}{C}+\cdots=0$$

第一个结论是很显然地推广就不需要证明了, 或者我们证明更一般的结论二也顺便证明了前一个结论.

证明: 我们需要考察 $\frac{x^n}{(x-a)(x-b)(x-c)\cdots}$, 它可以分解为 $m$ 个单项有理式, 也就是说,

$$\frac{x^n}{(x-a)(x-b)(x-c) \cdots}= \frac{A'}{x-a}+ \frac{B'}{x-b} +\frac{C'}{x-c} +\cdots \qquad\text{(1)}$$

上式两边同乘以$(x-a)$,再令$x=a$,得到

$$\frac{a^n}{(a-b)(a-c)(a-d)\cdots}=A'$$

同理可得:$$\frac{b^n}{(b-a)(b-c)(b-d)\cdots}=B',$$

等等. 将 (1) 式右侧移到左方我们有,

$$\frac{x^n}{(x-a)(x-b)(x-c)\cdots}+ \frac{A'}{a-x}+ \frac{B'}{b-x}+ \frac{C'}{c-x}+\cdots=0$$
将 $x$ 看作是最后一个(第$m$个)实数 (也就是令$x$为第$m$个实数), 重写 (将上式第一项放在最后) 上式得到

$$\frac{a^n}{(a-b)(a-c)(a-d)\dots(a-x)} +\cdots +\frac{x^n}{(x-a)(x-b)(x-c)\dots}=0$$
证毕!

-------------完-------------