高中数学记忆三角恒等式一直是很多人苦于去做的,虽然有 sinco cosin coco sinsin 之类的记忆“口诀”,但是过了一段时间不复习中间的细节比如两倍、正负号还是容易忘记的。下面我们来梳理一下这些恒等式的几何化表达。

角和差三角恒等式

角和差三角恒等式是所有公式的基础,容易记忆、也容易得到几何化的表达。

  1. 正余弦的角和公式:
    $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

    sincosum

  2. 正切的角和公式:
    $$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$
    tansum

和差化积恒等式

下面是和差化积的一个几何表达,角BAE为$\alpha$,角$CAE$为$\beta$,$AC=AB=1$,$D$是等边三角形底边中点。

sum2prod

上图可以很好地表达和差化积公式,比如$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$。上式左边两个sin是B、C两点到边$l$的距离,乘以$|l|$则是三角形ABC面积的两倍;等式右边等于$2|CD|\times\frac{|h|}{|l|}$,是三角形ABC面积的两倍除以 $|l|$。故两边相等。

半角公式

半角公式

此图一目了然。

参考文献

  1. 维基百科三角恒等式
  2. 半角公式几何化来自微博

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