拉普拉斯曾说过一句话, "读读欧拉,他是所有人的老师。" 过去几百年后,我想这句话还是很有力量的。欧拉一生中有占当时数学论文量30%的成果,涉及极广的数学分支。更重要的是,欧拉的著作可读性很高,对于那些看教材不爽的都可以去读一读欧拉, eulerarchive.org总结了欧拉的一些结果, 一些他的论文还可以在 arxiv 找到。

"读读欧拉"系列是我对一些欧拉著作或论文的一些总结,这是本系列第二篇文章"A commentary on the continued fraction by which the illustrious La Grange has expressed the binomial powers"的摘要。这篇文章是欧拉延续拉格朗日的工作(我突然意识到,当时的论文都是没有参考文献的,在文章前面提到之前的研究成果即可,参考文献好像是从Science引入影响因子开始的),Lagrange用取对数微分的方法得到了如下的二项式公式的连分式表示:

$$(1+x)^n =1+\frac{nx}{1+\frac{(1-n)x}{2+\frac{(1+n)x}{3+\frac{(2-n)x}{2+\frac{(2+n)x}{5+\frac{(3-n)x}{2+\frac{(2+n)x}{7+\cdots}}}}}}}$$

显然当n为整数时,这个连分式是有限的,实际上它可以化为二项式定理。首先,欧拉对其做了一些细致的分析和变形,得到了如下形式:(这里不得不说欧拉是一个细致的人,他把每一项的推理都一丝不苟地写得很清楚!)

$$(1+x)^n =1+\frac{nx}{1+\frac{(1-n)x}{2}+\frac{4(n^2 -1)x^2 }{3(1+\frac{1}{2}x)+\frac{4(n^2 -2^2 )x^2 }{5(1+\frac{1}{2}x)+\frac{4(n^2 -3^2 )x^2 }{7(1+\frac{1}{2}x)+\frac{4(n^2 -4^2 )x^2 }{\cdots}}}}}$$

进一步地,令$x=2y$,整理后(分离一次连分式)两边同时加上 $ny$,再同时除以 $(1+y)$ 可以得到:

$$\frac{ny}{1+y}\frac{(1+2y)^n +1}{(1+2y)^n -1}=1+\frac{(n^2 -1)y^2 (1+y)^2 }{3+\frac{(n^2 -2^2 )y^2 (1+y)^2 }{5+\frac{(n^2 -3^2 )y^2 (1+y)^2 }{7+\frac{(n^2 -4^2 )y^2 (1+y)^2 }{9+\cdots}}}}$$

现在我们令$z=\frac{y}{1+y}$,则可以得到:

$$\frac{nz[(1+z)^n +(1-z)^n ]}{(1+z)^n -(1-z)^n }=1+\frac{(n^2 -1)z^2 }{3+\frac{(n^2 -2^2 )z^2 }{5+\frac{(n^2 -3^2 )z^2 }{7+\cdots}}}$$

现在就开始牵扯到复数了,令$z=t\times i$,其中$i=\sqrt{-1}$,再做换元(万能代换)$t=\tan{\varphi}$,就可以得到简单的正切的倍角公式

$$\tan{n\varphi}=\frac{nt}{1-\frac{(n^2 -1)t^2 }{3-\frac{(n^2 -4)t^2 }{5-\cdots}}}$$

比如,令n=2,我们可以得到$\tan{2\varphi}=\frac{2t}{1-t^2 }$;再比如$n=3$,时,有

$$\tan{3\varphi}=\frac{3t}{1-\frac{8t^2 }{3-t^2 }}=\frac{3t-t^2 }{1-3t^2 }$$

令$nt=\theta$可以得到正切函数的连分式展开

文章中还有另外两个结论,不那么有趣,这里就不一一赘述了。

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